חזקה של מכפלה, מנה וחזקה

המעריך פועל על גורמים, לא על כל סימן שנראה לידו

שלושה חוקים, רעיון אחד

כאשר חזקה פועלת על מכפלה או מנה, היא פועלת על כל גורם. כאשר חזקה פועלת על חזקה, המעריכים מוכפלים. אבל סכומים אינם מתפרקים באותו אופן.

מכפלה

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

, כי כל גורם במכפלה חוזר

n

פעמים.

מנה

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

, בתנאי ש-

b \neq = 0

חזקה של חזקה

(a^{m})^{n} = a^{mn}

, כי יש

n

קבוצות שכל אחת מכילה

m

גורמים.

מפרקים רק גורמים

הגבול החשוב: מכפלה ומנה הן מבנים של גורמים, לכן החזקה מתפזרת עליהן. סכום והפרש אינם גורמים, ולכן אסור לכתוב $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

שלושת חוקי המבנה

$math/030-equation$

מכפלה

$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$

המעריך מגיע לכל גורם.

מתאים גם למספרים וגם למשתנים.

מנה

$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$

$b$ חייב להיות שונה מאפס.

זהו אותו רעיון כמו מכפלה.

חזקה

$(a^{m})^{n} = a^{mn}$

מכפילים מעריכים.

לא מחברים כאן מעריכים.

חזקה של מכפלה

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

חזקה של מנה

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}} (b \neq = 0)

חזקה של חזקה

(a^{m})^{n} = a^{mn}

כדי לבחור חוק נכון, שואלים מה נמצא בתוך הסוגריים: גורמים, מנה או חזקה נוספת. שלושת המקרים נראים דומים, אבל כל אחד מספר סיפור אחר על הגורמים.

למה חזקה של מכפלה מתפזרת על הגורמים

שלב 1 מתוך 3

(ab)^{3}

כמה פעמים מופיע הגורם $a$ ?

למה בחזקה של חזקה מכפילים מעריכים

שלב 1 מתוך 3

(x^{2})^{4}

תרגיל חימום: חזקה של מכפלה

בסיסי

פשטו את הביטוי. שימו לב שגם המקדם עולה בחזקה.

(5 z)^{2}

טוען סימולציה...

דוגמה פתורה

חזקה של מנה עם משתנה

שלב 1 מתוך 4

(\frac{2 x ^{3}}{5})^{2}

איזה חלקים עולים בריבוע?

בדיקת חוק מתאים

בינוני

פשטו את הביטוי.

(4 x y^{2})^{2}

ביטויים משולבים: חוק אחד בכל צעד

בתרגילים של כיתה ט החוקים כמעט לא מגיעים לבד. הדרך הבטוחה היא לעבוד מבחוץ פנימה או מבפנים החוצה באופן עקבי, ובכל שורה לכתוב איזה מבנה טיפלנו בו: מנה, מכפלה, חזקה של חזקה או בסיס שווה.

מפת החלטה קצרה

כאשר רואים חזקה מחוץ לסוגריים, לא רצים מיד להכפיל או לחבר מעריכים. קודם מזהים את המבנה שנמצא בתוך הסוגריים.

אם יש מכפלה, החזקה מגיעה לכל גורם. אם יש מנה, החזקה מגיעה למונה ולמכנה. אם יש חזקה בתוך חזקה, מכפילים מעריכים. אם יש סכום או הפרש, אין פיזור ישיר וצריך לפתוח לפי נוסחאות מתאימות או להשאיר כמו שהוא.

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}, (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}, (a^{m})^{n} = a^{mn}

בתרגיל משולב טוב מופיעים כמה מבנים, ולכן כל שורה צריכה לטפל במבנה אחד בלבד.

פתרון משולב עם מנה ומעריכים שליליים

שלב 1 מתוך 5

(\frac{3 x ^{- 2} y ^{3}}{2 y ^{- 1}})^{2}

איזה חוק הופעל בשורה הזו?

תרגיל משולב: מכפלה ואז חילוק

מאתגר

פשטו וכתבו עם מעריכים חיוביים.

\frac{( 2 a ^{3} b ^{- 1} ) ^{2}}{4 ab}

אבחון טעות: סכום בתוך סוגריים

בינוני

תלמיד כתב $(m + n)^{2} = m^{2} + n^{2}$ . הפריכו את הטענה בעזרת הצבה מספרית.

(m + n)^{2} = m^{2} + n^{2}

מנה, מכפלה וחזקה של חזקה

מאתגר

פשטו את $(\frac{2 x ^{3} y}{4 x y ^{- 2}})^{2}$ .

(\frac{2 x ^{3} y}{4 x y ^{- 2}})^{2}

מרפאת טעויות: הסוגריים לא מספיקים

הרבה תלמידים רואים סוגריים וחזקה ומיד מפזרים את החזקה. אבל מה שקובע הוא לא עצם קיום הסוגריים, אלא המבנה שבתוכם.

אם בתוך הסוגריים יש מכפלה כמו $3 x y$ , החזקה פועלת על כל גורם.
אם בתוך הסוגריים יש מנה כמו $\frac{x}{5}$ , החזקה פועלת על המונה ועל המכנה.
אם בתוך הסוגריים יש סכום כמו $x + 5$ , לא מפזרים את החזקה. אפשר לבדוק חוק חשוד בהצבה מספרית.

בדיקת נגד מהירה: הציבו $a = 1$ ו- $b = 2$ . אם $(a + b)^{2}$ ו- $a^{2} + b^{2}$ נותנים ערכים שונים, החוק המוצע שגוי.

הסכום לא מתפרק

אין חוק שאומר $(a + b)^{n} = a^{n} + b^{n}$ . כדי לבדוק, הציבו מספרים קטנים.

$(1 + 2)^{2} = 3^{2} = 9$ .
$1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$ .
מאחר ש- $9 \neq = 5$ , הטענה הכללית שגויה.

שאלה לחשיבה

למה חוק חזקה של מכפלה אינו תקף לסכום?

במכפלה, כל גורם חוזר בתוך המכפלה ולכן אפשר לארגן מחדש את הגורמים. בסכום אין גורמים נפרדים שחוזרים באותה דרך, ולכן חוק חזקה של מכפלה אינו עובר לסכום. דוגמה נגדית כמו $(1 + 2)^{2} \neq = 1^{2} + 2^{2}$ מספיקה כדי לחשוף את הטעות.

שאלה 1 מתוך 14

פשטו: $(2 x)^{3}$

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקחוקי חזקות באותו בסיס בפרקכתיב מדעי למספרים גדולים קשורחזקות של 10 קשוראומדן שורשים

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חזקה של מכפלה, מנה וחזקה כבר מוכן.

פתחו תרגול