מהו למה |a| ולא רק a?

בדיקה: אם a=-3, מהו \sqrt? (-3)^2=9, ולכן \sqrt=\sqrt=3. הפישוט \sqrt=a היה נותן -3, וזה שגוי כי הסימן \sqrt{} מחזיר ערך חיובי תמיד. הכלל הנכון הוא \sqrt=|a|. כאשר בטוחים ש-a\ge0, מפשטים ל-a. כאשר a יכול להיות שלילי, חייב להופיע |a|.

מהו רציונלי ואי-רציונלי - הגדרה?

מספר רציונלי הוא מספר שאפשר לכתוב אותו בצורה \frac כאשר p,q הם מספרים שלמים ו-q\ne0. מספרים שלמים, שברים ומספרים עשרוניים מסתיימים או מחזוריים הם כולם רציונליים. מספרים שאי אפשר לכתוב כשבר - כמו \sqrt או \pi - הם אי-רציונליים. הם ממשיכים אחרי הנקודה ללא סוף וללא מחזוריות. כל מספר ממשי הוא רציונלי או אי-רציונלי. שורש של מספר שאינו ריבוע מושלם הוא תמיד אי-רציונלי.

האם \sqrt הוא רציונלי או אי-רציונלי? נמקו.

\sqrt=\sqrt}=\frac. התוצאה היא 0.5, שהוא שבר של שלמים ולכן רציונלי. 0.25=\frac הוא ריבוע מושלם של \frac.

פישוט שורשים ומספרים רציונליים

כלל המכפלה, ערך מוחלט, ורציונלי מול אי-רציונלי

$math/008-square root$ מתי שורש מפשיט ומתי הוא נשאר

לא כל שורש נותן מספר שלם נוח. לפעמים אפשר לפשט ביטוי עם שורש, ולפעמים הוא נשאר אי-רציונלי לצמיתות. שני הכלים המרכזיים שנלמד כאן - כלל המכפלה ו-

a^{2} = ∣ a ∣

- הם גם כלי פישוט וגם מבחן האם שורש יכול להפוך לביטוי "נקי".

כלל המכפלה

ab = a \cdot b

מאפשר לפרק שורש לגורמים ולבחור אילו לפשט.

שורש של ריבוע

a^{2} = ∣ a ∣

- הסימון מחזיר ערך לא שלילי, גם אם

a

עצמו שלילי.

רציונלי ואי-רציונלי

מספר רציונלי כתיב כשבר

\frac{p}{q}

. שורשים של מספרים שאינם ריבועים מושלמים הם בדרך כלל אי-רציונליים.

$math/008-square root$ כלל המכפלה בשורשים

שורש של מכפלה שווה למכפלת השורשים, בתנאי ששני הגורמים אינם שליליים. כלל זה הוא הבסיס לכל פישוט של שורש.

$math/008-square root$ כלל המכפלה

לכל $a \geq 0$ ו- $b \geq 0$ :

מכיוון ששניהם אינם שליליים, אפשר לבדוק: $(a \cdot b)^{2} = a \cdot b$ . אבל גם $(ab)^{2} = ab$ . שתי הכמות הלא-שליליות שריבועיהן שוות הן עצמן שוות.

ab = a \cdot b

הכלל עובד בשני הכיוונים: אפשר לאחד שורשים לשורש אחד, ואפשר לפרק שורש לגורמים כדי לפשט.

כלל המכפלה בשורשים

ab = a \cdot b, a \geq 0, b \geq 0

פישוט שורש בעזרת כלל המכפלה

הטכניקה היא לזהות בתוך הביטוי שמתחת לשורש גורם שהוא ריבוע מושלם. מוציאים אותו, ומה שנשאר נשאר תחת השורש.

פישוט $12$

שלב 1 מתוך 3

12

מהו הפירוק שמכיל ריבוע מושלם?

פישוט $50$

שלב 1 מתוך 2

50

מהו הריבוע המושלם הגדול ביותר שמחלק $50$ ?

תרגיל: פישוט $72$

בינוני

פשטו את השורש.

72

תרגיל: פישוט $45$

בינוני

פשטו את השורש.

45

$math/004-square$ שורש של ריבוע: $a^{2} = ∣ a ∣$

כשמריבעים מספר ולוקחים שורש, מצפים לחזור אליו. אך הסימון מוגדר להחזיר ערך לא שלילי, ולכן אם $a$ יכול להיות שלילי, הפישוט הנכון כולל ערך מוחלט.

למה $∣ a ∣$ ולא רק $a$

בדיקה: אם $a = - 3$ , מהו $(- 3)^{2}$ ?

$(- 3)^{2} = 9$ , ולכן $(- 3)^{2} = 9 = 3$ . הפישוט $a^{2} = a$ היה נותן $- 3$ , וזה שגוי כי הסימן מחזיר ערך חיובי תמיד. הכלל הנכון הוא $a^{2} = ∣ a ∣$ .

a^{2} = ∣ a ∣

כאשר בטוחים ש- $a \geq 0$ , מפשטים ל- $a$ . כאשר $a$ יכול להיות שלילי, חייב להופיע $∣ a ∣$ .

שורש של ריבוע

a^{2} = ∣ a ∣

פישוט $a^{2}$ לפי הסימן של $a$

ביטוי	תנאי על $a$	פישוט
$a^{2}$	$a \geq 0$ (ידוע)	$a$
$a^{2}$	$a$ כלשהו	$∣ a ∣$
$9 x^{2}$	$x \geq 0$ (ידוע)	$3 x$
$9 x^{2}$	$x$ כלשהו	$3∣ x ∣$

* בבחינות, כאשר לא נאמר אחרת, מניחים שהמשתנים חיוביים ומשמיטים את $∣ \cdot ∣$ .

פישוט $a^{2} = ∣ a ∣$ - דוגמאות

שלב 1 מתוך 3

(- 5)^{2} ו x^{2}

תרגיל: $(x + 1)^{2}$

בינוני

פשטו, בהנחה ש- $x$ כלשהו.

(x + 1)^{2}

כלל המכפלה ו- $a^{2}$ יחד

השילוב של שני הכלים מאפשר לפשט ביטויים מורכבים יותר. מפרקים את הביטוי תחת השורש לגורמים ריבועיים ולא-ריבועיים, ואז מוציאים את הריבועיים.

פישוט $18 x^{2}$

שלב 1 מתוך 3

18 x^{2}, x \geq 0

מפרקים את $18$ לגורם ריבועי ולשארית.

18 = 9 \cdot 2, 18 x^{2} = 9 x^{2} \cdot 2

תרגיל: $75 a^{2}$

מאתגר

פשטו, בהנחה ש- $a \geq 0$ .

75 a^{2}

$math/025-numbers$ מספרים רציונליים ואי-רציונליים

שורש ריבועי יכול לתת מספר רציונלי נוח, אבל לרוב הוא לא. ההבחנה הזו חשובה לפני פתרון משוואות ריבועיות, שם תשובות עם נשארות "אי-רציונליות" ואי אפשר לפשט אותן יותר.

$math/025-numbers$ רציונלי ואי-רציונלי - הגדרה

מספר רציונלי הוא מספר שאפשר לכתוב אותו בצורה $\frac{p}{q}$ כאשר $p, q$ הם מספרים שלמים ו- $q \neq = 0$ .

מספרים שלמים, שברים ומספרים עשרוניים מסתיימים או מחזוריים הם כולם רציונליים. מספרים שאי אפשר לכתוב כשבר - כמו $2$ או $π$ - הם אי-רציונליים. הם ממשיכים אחרי הנקודה ללא סוף וללא מחזוריות.

Q = {\frac{p}{q} ∣ p, q \in Z, q \neq = 0}

כל מספר ממשי הוא רציונלי או אי-רציונלי. שורש של מספר שאינו ריבוע מושלם הוא תמיד אי-רציונלי.

דוגמאות לרציונלי ואי-רציונלי

מספר	רציונלי או אי-רציונלי?	נימוק
$49$	רציונלי	$49 = 7 = \frac{7}{1}$
$2$	אי-רציונלי	$2$ אינו ריבוע מושלם; ההרחבה אחרי הנקודה אינה מחזורית
$25$	רציונלי	$25 = 5$
$3$	אי-רציונלי	$3$ אינו ריבוע מושלם
$\frac{1}{3}$	רציונלי	שבר של שלמים
$π$	אי-רציונלי	נכון להסביר, לא להוכיח כאן

* קוד בדיקה מהיר: האם המספר תחת השורש הוא ריבוע מושלם? אם כן - התוצאה רציונלית.

שאלה לחשיבה

האם $0.25$ הוא רציונלי או אי-רציונלי? נמקו.

$0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ . התוצאה היא $0.5$ , שהוא שבר של שלמים ולכן רציונלי. $0.25 = \frac{1}{4}$ הוא ריבוע מושלם של $\frac{1}{2}$ .

תרגיל: רציונלי או אי-רציונלי?

בסיסי

סווגו כל מספר.

16, 5, 100, 7

שורשים אי-רציונליים בתשובות - למה משאירים

כאשר תשובה לשאלה מתמטית מכילה $2$ או $3$ , לא רק שמותר להשאיר - זה הדיוק הנדרש. כתיבת ערך מוניב $1.41$ היא קירוב, לא תשובה מדויקת.

בפרק 3 (משוואות ריבועיות), נוסחת השורשים מייצרת תשובות כמו

x = \frac{- 3 + 5}{2}

. זו תשובה מדויקת ומלאה.

5

אינו "טעות" שצריך לפשט.

תרגיל: פישוט ביטוי משולב

מאתגר

פשטו ככל האפשר.

8 + 18

סיכום: מתי שורש מפשיט

שלושה מצבים שמאפשרים להוציא משהו מתחת לשורש:

גורם ריבועי: $a^{2} \cdot b = a b$ (כאשר $a \geq 0) .$
ריבוע של ביטוי: $a^{2} = ∣ a ∣$ (ערך מוחלט אם $a$ כלשהו).
כלל המכפלה לאיחוד: $a \cdot b = ab$ - גם הכיוון ההפוך שימושי.

שאלה 1 מתוך 8

האם $7$ הוא מספר רציונלי?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקשורשים ריבועיים ואומדן בפרקבדיקת טעויות בחוקי חזקות קשורמספר רציונלי ואי-רציונאלי קשורחזקות ושורשים בגאומטריה

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של פישוט שורשים ומספרים רציונליים כבר מוכן.

פתחו תרגול

פישוט שורשים ומספרים רציונליים

מתי שורש מפשיט ומתי הוא נשאר

כלל המכפלה בשורשים

כלל המכפלה

פישוט שורש בעזרת כלל המכפלה

פישוט 12​

פישוט 50​

תרגיל: פישוט 72​

תרגיל: פישוט 45​

שורש של ריבוע: a2​=∣a∣

למה ∣a∣ ולא רק a

פישוט a2​ לפי הסימן של a

פישוט a2​=∣a∣ - דוגמאות

תרגיל: (x+1)2​

כלל המכפלה ו-a2​ יחד

פישוט 18x2​

תרגיל: 75a2​

מספרים רציונליים ואי-רציונליים

רציונלי ואי-רציונלי - הגדרה

דוגמאות לרציונלי ואי-רציונלי

שאלה לחשיבה

תרגיל: רציונלי או אי-רציונלי?

שורשים אי-רציונליים בתשובות - למה משאירים

תרגיל: פישוט ביטוי משולב

סיכום: מתי שורש מפשיט

האם 7​ הוא מספר רציונלי?