משפטים הפוכים וזיהוי שווה שוקיים

מתי מותר להפוך משפט, ומתי זה מלכודת

מה נבנה במודול

מבינים מהו משפט הפוך, מוכיחים את המשפט ההפוך של זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים, ומתרגלים הבחנה בין היפוך תקף להיפוך שגוי.

להגדיר

להסביר מהו משפט ומהו משפט הפוך.

להוכיח

להראות ששוויון זוויות בסיס גורר שוויון צלעות נגדיות.

להבחין

לזהות משפטים שההיפוך שלהם אינו נכון.

ליישם

לקבוע מתי אפשר לזהות משולש שווה שוקיים מתוך זוויות.

להגדיר

להסביר מהו משפט ומהו משפט הפוך.

להוכיח

להראות ששוויון זוויות בסיס גורר שוויון צלעות נגדיות.

להבחין

לזהות משפטים שההיפוך שלהם אינו נכון.

ליישם

לקבוע מתי אפשר לזהות משולש שווה שוקיים מתוך זוויות.

לא כל משפט מתהפך לבד

משפט אומר שאם תנאי מתקיים, אז מסקנה מתקיימת. המשפט ההפוך מחליף בין התנאי למסקנה. לפעמים המשפט ההפוך נכון, ולפעמים לא. לכן משפט הפוך צריך הוכחה או ניסוח מוכר, בדיוק כמו כל משפט אחר.

שוויון זוויות מוביל לשוויון צלעות

כאשר הקטע יוצא מקודקוד הראש אל הבסיס, אפשר לעיתים להוכיח שהוא תיכון, גובה וחוצה זווית.

תמונה הממחישה את המשפט ההפוך במשולש שווה שוקיים מזוויות בסיס שוות לשוקיים שוות — המשפט ההפוך מתחיל משוויון זוויות בסיס ומסיק שוויון של השוקיים שמולן.

משפט ומשפט הפוך

המשפט הרגיל במשולש שווה שוקיים: אם שתי צלעות שוות, אז הזוויות שמולן שוות.

המשפט ההפוך: אם שתי זוויות במשולש שוות, אז הצלעות שמולן שוות. במקרה הזה ההיפוך נכון, אבל צריך לדעת שהוא משפט מוכח ולא ניחוש.

∠ B = ∠ C, ∴ A B = A C

לפני שמשתמשים בהיפוך, שאלו: האם למדנו שהמשפט ההפוך נכון?

המשפט ההפוך לזוויות בסיס

∠ B = ∠ C, ∴ A B = A C

מסלול עבודה בטוח

זהו כיוון

כתבו מה התנאי ומה המסקנה.

אל תחליפו ביניהם בלי לבדוק.

חפשו משפט הפוך

האם המשפט ההפוך נלמד?

אם לא, נסו להוכיח או למצוא דוגמה נגדית.

הפעילו במשולש

זוויות שוות במשולש מצביעות על צלעות נגדיות שוות.

כך מזהים שווה שוקיים.

בדקו ניסוח

כתבו את המסקנה על הצלעות שמול הזוויות.

הימנעו מהחלפת צלע לא מתאימה.

נתון, כלי ומסקנה

מה רואים	הכלי המתאים	מה מותר להסיק
משפט רגיל	$A B = A C$ , ולכן $∠ B = ∠ C$	שוקיים שוות גוררות זוויות בסיס שוות
משפט הפוך נכון	$∠ B = ∠ C$ , ולכן $A B = A C$	זוויות שוות גוררות צלעות נגדיות שוות
היפוך לא מובטח	אם מרובע הוא דלתון אז אלכסוניו מאונכים	צריך לבדוק אם ההיפוך נלמד ונכון
דוגמה נגדית	היפוך שגוי נופל ממקרה אחד	כלי מרכזי לבדיקת משפטים הפוכים

* הטבלה אינה תחליף להוכחה. היא עוזרת לבחור את הנימוק הנכון.

דוגמה פתורה: הוכחת המשפט ההפוך

שלב 1 מתוך 6

במשולש

△ A B C

נתון

∠ B = ∠ C

. הוכיחו

A B = A C

מה תפקיד הבנייה?

דוגמה פתורה: היפוך שגוי

שלב 1 מתוך 2

המשפט: אם מרובע הוא ריבוע, אז יש לו ארבע צלעות שוות. האם המשפט ההפוך נכון?

איזה מרובע סותר זאת?

דוגמאות מהירות לבדיקה עצמית

רגיל

$A B = A C$ ← מסיקים $∠ B = ∠ C$ .

הפוך

$∠ B = ∠ C$ ← מסיקים $A B = A C$ .

דוגמה נגדית

מעוין שאינו ריבוע מפריך היפוך שגוי של משפט על ריבוע.

בדיקת כיוון

לפני שימוש במשפט, כתבו מה הנתון ומה המסקנה.

לפני משפט הפוך בודקים כיוון

בינוני

במשולש $A B C$ נתון $∠ B = ∠ C$ . מטרה: להוכיח $A B = A C$ . השלימו שרשרת טענה-נימוק, ובדקו שהזוויות נמצאות באותו משולש לפני שימוש במשפט ההפוך.

∠ B = ∠ C ⊢ A B = A C

זיהוי משולש שווה שוקיים

בסיסי

במשולש נתון $∠ B = 5 2^{\circ}$ ו- $∠ C = 5 2^{\circ}$ . מה אפשר להסיק?

∠ B = ∠ C

איזה כיוון

בינוני

נתון $A B = A C$ . האם משתמשים במשפט רגיל או במשפט הפוך כדי להסיק $∠ B = ∠ C$ ?

A B = A C

היפוך שצריך בדיקה

בינוני

אם שני ישרים מקבילים, אז זוויות מתאימות שוות. מה המשפט ההפוך?

ℓ_{1} ∥ ℓ_{2}, ∴ ∠_{1} = ∠_{2}

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

משפט נכון לא מבטיח שהמשפט ההפוך שלו נכון. במשולש שווה שוקיים ההיפוך נכון ונלמד, אבל במקרים אחרים צריך הוכחה או דוגמה נגדית.

התיקון

חזרו להגדרה, לנתונים ולמשפטים שכבר הוכחו. כל מעבר צריך לקבל נימוק מפורש.

דוגמה: כתבו את המשפט המקורי. ← החליפו תנאי ומסקנה. ← בדקו אם ההיפוך נלמד. ← אם לא, חפשו הוכחה או דוגמה נגדית.

שאלה לחשיבה

למה משפט הפוך צריך הוכחה?

משפט הפוך צריך הוכחה כי הוא טענה חדשה, לא המשך אוטומטי של המשפט המקורי. גם אם המשפט המקורי נכון תמיד, החלפת הכיוון עלולה ליצור טענה שגויה. לכן משתמשים בהיפוך רק אחרי שהוכחנו אותו או למדנו שהוא משפט תקף.

שאלות חשיבה מחזקות את שרשרת הנימוקים, לא רק את החישוב.

שאלה לחשיבה

איך יודעים אילו צלעות שוות מזוויות שוות?

במשולש, כל זווית נמצאת מול צלע אחת. כאשר שתי זוויות במשולש שוות, המשפט ההפוך של זוויות בסיס אומר שהצלעות שמול הזוויות האלה שוות. לכן חשוב להתאים נכון בין הזווית לבין הצלע הנגדית לה.

היפוך אינו אוטומטי

כתבו את המשפט המקורי.
החליפו תנאי ומסקנה.
בדקו אם ההיפוך נלמד.
אם לא, חפשו הוכחה או דוגמה נגדית.

אספו שלושה משפטים שלמדתם השנה ונסחו לכל אחד משפט הפוך. סמנו אילו הפוכים אתם יודעים שהם נכונים ואילו דורשים בדיקה.

דוגמה נוספת: משתמשים במשפט הפוך בזהירות

במשולש

A B C

נתון

∠ B = ∠ C

. הוכיחו

A B = A C

בודקים אותו משולש

מאתגר

נתון $∠ X = ∠ Y$ במשולש $X Y Z$ . מה אפשר להסיק על הצלעות?

∠ X = ∠ Y

שאלה 1 מתוך 14

בהוכחת המשפט ההפוך, למה בונים חוצה זווית?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקמשולש שווה שוקיים בהוכחה בפרקתכנון הוכחה בעזרת חפיפה קשורשילוב חפיפה ושווה שוקיים קשורמשולש ישר זווית

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משפטים הפוכים וזיהוי שווה שוקיים כבר מוכן.

פתחו תרגול

משפטים הפוכים וזיהוי שווה שוקיים

מה נבנה במודול

להגדיר

להוכיח

להבחין

ליישם

לא כל משפט מתהפך לבד

משפט ומשפט הפוך

מסלול עבודה בטוח

זהו כיוון

חפשו משפט הפוך

הפעילו במשולש

בדקו ניסוח

נתון, כלי ומסקנה

דוגמה פתורה: הוכחת המשפט ההפוך

דוגמה פתורה: היפוך שגוי

דוגמאות מהירות לבדיקה עצמית

רגיל

הפוך

דוגמה נגדית

בדיקת כיוון

לפני משפט הפוך בודקים כיוון

זיהוי משולש שווה שוקיים

איזה כיוון

היפוך שצריך בדיקה

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

התיקון

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

היפוך אינו אוטומטי

אתגר העמקה

דוגמה נוספת: משתמשים במשפט הפוך בזהירות

בודקים אותו משולש

בהוכחת המשפט ההפוך, למה בונים חוצה זווית?