תכונות אלכסוני הדלתון

להוכיח

להראות בעזרת חפיפה שהאלכסון הראשי חוצה זוויות.

להסיק

להשתמש בחלקים מתאימים כדי לקבל חציית האלכסון המשני.

לנמק

להוכיח ניצבות מתוך זוויות צמודות שוות.

להבדיל

להבחין בין תכונה של דלתון לבין תנאי לזיהוי דלתון.

האלכסון הראשי הוא מנוע ההוכחה

בדלתון, האלכסון הראשי מחבר את קדקודי זוגות הצלעות השוות. לכן הוא יוצר שני משולשים שיש להם הרבה נתונים משותפים. דרך חפיפה אפשר להוכיח חציית זוויות, ואז להשתמש בכך כדי להוכיח חצייה וניצבות של האלכסון המשני.

מסלול עבודה בטוח

חפיפה גדולה

חברו את שני המשולשים סביב האלכסון הראשי.

השתמשו בצ.צ.צ.

חציית זוויות

הסיקו חלקים מתאימים.

קבלו זווית כלואה להמשך.

חפיפה קטנה

התמקדו במשולשים ליד נקודת החיתוך.

השתמשו בצלע משותפת ובזווית שחצינו.

ניצבות

אם שתי זוויות צמודות שוות, כל אחת 90 מעלות.

כך מתקבלת מאונכות.

סדנה: בנייה והוכחה של תכונות הדלתון

התכונה הרביעית: הזוויות אצל הקדקודים המשניים שוות

הקדקודים הראשיים בדלתון $ABCD$ הם $A$ ו-$C$ (שם נפגשים זוגות הצלעות השוות). הקדקודים המשניים הם $B$ ו-$D$. מהחפיפה הגדולה $△ABC\cong △ADC$ יוצא ישירות שגם $\angle B=\angle D$. זוהי תכונה עצמאית של הדלתון, ונחוצה בהוכחות שבהן שואלים על זוויות הקדקודים המשניים.

חישוב זווית קדקוד משני

בינוני

בדלתון $ABCD$ נתון $\angle BAD=80^{\circ }$ ו-$\angle BCD=100^{\circ }$. מצאו את $\angle ABC$ ואת $\angle ADC$.

$$\angle BAD=80^{\circ },\angle BCD=100^{\circ }$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

מהוכחת דלתון לניצבות

מאתגר

בדלתון $ABCD$ נתון $AB=AD$, $CB=CD$, והאלכסונים נחתכים ב-$O$. מטרה: להוכיח $AC\perp BD$. השלימו שרשרת הוכחה בת חמישה צעדים, ובדקו בכל פעם שהתנאים של המשפט מתקיימים לפני השימוש בו.

$$AB=AD,CB=CD⊢AC\perp BD$$

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

השלמת חפיפה גדולה

בינוני

בדלתון $ABCD$ נתון $AB=AD$, $CB=CD$. איזה שוויון נוסף דרוש כדי לחפוף את $△ABC$ ו-$△ADC$ לפי צ.צ.צ?

$$AB=AD,CB=CD$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

מזוויות שוות לניצבות

בינוני

נתון ש-$\angle BOA=\angle AOD$ והנקודות $B,O,D$ על ישר אחד. הוכיחו שכל אחת מהזוויות היא $90^{\circ }$.

$$\angle BOA=\angle AOD$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

חישוב בזוויות דלתון

בינוני

בדלתון האלכסון הראשי חוצה את $\angle A$. אם $\angle BAC=34^{\circ }$, מצאו את $\angle CAD$ ואת $\angle BAD$.

$$\angle BAC=34^{\circ }$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

אתגר העמקה

לחץ להרחבה למתקדמים

↓

נסו להוכיח את אותה תכונה דרך הקדקוד $C$ במקום דרך הקדקוד $A$. השוו בין שתי שרשראות ההוכחה.

דוגמה נוספת: האלכסון הראשי חוצה את השני

בדלתון $ABCD$, $AB=AD$, $CB=CD$, והאלכסונים נחתכים ב-$O$. הוכיחו $BO=OD$.

פתרו יחד

משתמשים בחציית האלכסון

מאתגר

בדלתון האלכסון הראשי חוצה את האלכסון השני. אם $BD=18$, מהו $BO$?

$$BD=18$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

שאלה 1 מתוך 14

מהו נימוק נכון ל-$AC=AC$?

א

צלע משותפת

ב

חוצה זווית

ג

הגדרת דלתון

ד

זוויות צמודות

פוסטר סיכום

תכונות אלכסוני הדלתון

הוכחה גאומטרית, דלתון ומשולש שווה שוקיים

למדו תכונות אלכסוני הדלתון במתמטיקה לכיתה ט׳: כתיבת הוכחות, דלתון, משולש שווה שוקיים וחפיפת משולשים. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול למבחן.