משולש שווה שוקיים בהוכחה

חוזרים על התכונות, אבל הפעם ככלי הוכחה

מה נבנה במודול

משתמשים במשולש שווה שוקיים כדי להסיק זוויות בסיס שוות, להוכיח חפיפה סביב הקטע מהראש לבסיס, ולפתור חישובים והוכחות.

להפעיל

להסיק זוויות בסיס שוות מתוך שוקיים שוות.

להוכיח

להראות בעזרת חפיפה שהקטע מהראש לבסיס יכול להיות תיכון, גובה וחוצה זווית.

לחשב

לפתור זוויות במשולש שווה שוקיים.

להיזהר

לא להעביר תכונות של הקטע המיוחד לקודקוד שאינו ראש המשולש.

להפעיל

להסיק זוויות בסיס שוות מתוך שוקיים שוות.

להוכיח

להראות בעזרת חפיפה שהקטע מהראש לבסיס יכול להיות תיכון, גובה וחוצה זווית.

לחשב

לפתור זוויות במשולש שווה שוקיים.

להיזהר

לא להעביר תכונות של הקטע המיוחד לקודקוד שאינו ראש המשולש.

שווה שוקיים הוא מקור לנתונים חדשים

כאשר יודעים שמשולש שווה שוקיים, מקבלים זוויות בסיס שוות. כאשר יש קטע מיוחד מקודקוד הראש לבסיס, אפשר לעיתים להוכיח בעזרת חפיפה שהוא גם תיכון, גם גובה וגם חוצה זווית. בפרק הזה משתמשים בכך כחלק משרשרת הוכחה.

משולש שווה שוקיים עם קטע מהראש

כאשר הקטע יוצא מקודקוד הראש אל הבסיס, אפשר לעיתים להוכיח שהוא תיכון, גובה וחוצה זווית.

תמונה הממחישה את תכונות משולש שווה שוקיים בעזרת שוקיים שוות, זוויות בסיס וקטע מהראש לבסיס — במשולש שווה שוקיים, שוויון השוקיים מוביל לשוויון זוויות הבסיס ולתכונות הקטע מהראש לבסיס.

שלושה כלים במשולש שווה שוקיים

במשולש $△ A B C$ שבו $A B = A C$ , הצלע $B C$ היא הבסיס והזוויות ליד הבסיס שוות.

אם מוסיפים קטע $A D$ מקודקוד הראש לבסיס ומקבלים נתון מתאים כמו אמצע, חוצה זווית או גובה, אפשר להוכיח חפיפה של שני המשולשים הקטנים ולהסיק את שאר התכונות.

A B = A C, ∴ ∠ B = ∠ C

הכלי עובד סביב קודקוד הראש. שימוש באותו רעיון מקודקוד אחר דורש בדיקה חדשה.

זוויות בסיס

A B = A C, ∴ ∠ A B C = ∠ B C A

מסלול עבודה בטוח

שוקיים

זהו את שתי הצלעות השוות.

הזוויות שמולן הן זוויות הבסיס.

בסיס

הבסיס הוא הצלע שאינה אחת השוקיים.

עליו יושבת לרוב נקודת האמצע.

קטע מהראש

הוא יכול ליצור שני משולשים נוחים.

בדקו אילו נתונים יש עליו.

חלקים מתאימים

אחרי חפיפה אפשר להסיק שוויון צלעות וזוויות.

לפני חפיפה אסור לקפוץ למסקנות.

סדנה: שרשרת הוכחה במשולש שווה שוקיים

טוען סימולציה...

נתון, כלי ומסקנה

מה רואים	הכלי המתאים	מה מותר להסיק
$A B = A C$	הגדרת שווה שוקיים	זוויות הבסיס שוות
$D$ אמצע $B C$	הגדרת אמצע	$B D = D C$
$A D = A D$	צלע משותפת	נתון לחפיפה
חפיפה של שני המשולשים	חלקים מתאימים	גובה, תיכון או חוצה זווית לפי המטרה

* הטבלה אינה תחליף להוכחה. היא עוזרת לבחור את הנימוק הנכון.

דוגמה פתורה: תיכון לבסיס יוצר חפיפה

שלב 1 מתוך 6

במשולש

△ A B C

נתון

A B = A C

. הנקודה

D

היא אמצע

B C

. הוכיחו

A D ⊥ B C

וגם

∠ B A D = ∠ D A C

מה מקור השורה?

דוגמה פתורה: חישוב זוויות בסיס

שלב 1 מתוך 3

במשולש

A B = A C

ו-

∠ A = 4 4^{\circ}

. מצאו את

∠ B

ואת

∠ C

למה?

דוגמאות מהירות לבדיקה עצמית

נתון שוקיים

$A B = A C$ מאפשר להסיק $∠ B = ∠ C$ .

תיכון לבסיס

עם $B D = D C$ וצלע משותפת אפשר להוכיח חפיפה.

חוצה ראש

אם $∠ B A D = ∠ D A C$ , צ.ז.צ יכול להוכיח חפיפה.

זהירות

הקטע המיוחד חייב לצאת מקודקוד הראש אל הבסיס.

תיכון לבסיס אינו קסם

מאתגר

במשולש $A B C$ נתון $A B = A C$ , והנקודה $D$ היא אמצע $B C$ . מטרה: להוכיח $∠ B A D = ∠ D A C$ . השלימו שרשרת טענה-נימוק ובדקו את תנאי צ.צ.צ לפני שמסיקים חלקים מתאימים.

A B = A C, B D = D C ⊢ ∠ B A D = ∠ D A C

זווית ראש נתונה

בסיסי

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא $3 6^{\circ}$ . מצאו כל זווית בסיס.

3 6^{\circ}

איזה משפט חפיפה

בינוני

נתון $A B = A C$ , $∠ B A D = ∠ D A C$ , ו- $A D = A D$ . איזה משפט חפיפה מוכיח $△ A B D ≅ △ A C D$ ?

A B = A C, ∠ B A D = ∠ D A C, A D = A D

צלע משותפת חסרה

בינוני

בהוכחה כתוב $A B = A C$ , $B D = D C$ , ואז חפיפה. איזו שורה חסרה?

A B = A C, B D = D C

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

במשולש שווה שוקיים התכונות של תיכון, גובה וחוצה זווית מתלכדות עבור הקטע מקודקוד הראש לבסיס. קטע מקודקוד בסיס אינו מקבל אותן אוטומטית.

התיקון

חזרו להגדרה, לנתונים ולמשפטים שכבר הוכחו. כל מעבר צריך לקבל נימוק מפורש.

דוגמה: זהו את השוקיים. ← מצאו את קודקוד הראש. ← בדקו שהקטע יוצא ממנו. ← רק אז הפעילו את המשפט המתאים.

שאלה לחשיבה

למה חשוב לציין $A D = A D$ ?

חשוב לציין $A D = A D$ כי צלע משותפת היא נתון שמשמש במשפט החפיפה, גם אם היא נראית מובנת מאליה. בהוכחה מסודרת כל זוג צלעות או זוויות שמבסס את החפיפה צריך להופיע בגלוי כדי שהנימוק יהיה שלם.

שאלות חשיבה מחזקות את שרשרת הנימוקים, לא רק את החישוב.

שאלה לחשיבה

מה ההבדל בין חישוב להוכחה כאן?

בחישוב משתמשים בתכונה ידועה כדי למצוא גודל מספרי, למשל זווית בסיס. בהוכחה מסבירים מדוע התכונה מתקיימת או מדוע מותר להשתמש בה במקרה הנתון. לכן הוכחה דורשת שרשרת נימוקים, ולא רק הצבה במספרים.

הקטע המיוחד אינו מכל קדקוד

זהו את השוקיים.
מצאו את קודקוד הראש.
בדקו שהקטע יוצא ממנו.
רק אז הפעילו את המשפט המתאים.

נסו להוכיח את משפט זוויות הבסיס בעזרת בניית חוצה זווית מהראש והשוואת שני משולשים.

דוגמה נוספת: גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים

A B = A C

, הנקודה

D

על

B C

ו-

A D ⊥ B C

. הוכיחו

B D = D C

גובה שהופך לתיכון

מאתגר

במשולש $A B C$ , $A B = A C$ ו- $A D ⊥ B C$ . אם $B C = 14$ , מצאו את $B D$ .

B C = 14

שאלה 1 מתוך 14

מהי טעות נפוצה במשולש שווה שוקיים?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקתכונות אלכסוני הדלתון בפרקמשפטים הפוכים וזיהוי שווה שוקיים קשורשילוב חפיפה ושווה שוקיים קשורמשולש ישר זווית

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משולש שווה שוקיים בהוכחה כבר מוכן.

פתחו תרגול

משולש שווה שוקיים בהוכחה

מה נבנה במודול

להפעיל

להוכיח

לחשב

להיזהר

שווה שוקיים הוא מקור לנתונים חדשים

שלושה כלים במשולש שווה שוקיים

מסלול עבודה בטוח

שוקיים

בסיס

קטע מהראש

חלקים מתאימים

סדנה: שרשרת הוכחה במשולש שווה שוקיים

נתון, כלי ומסקנה

דוגמה פתורה: תיכון לבסיס יוצר חפיפה

דוגמה פתורה: חישוב זוויות בסיס

דוגמאות מהירות לבדיקה עצמית

נתון שוקיים

תיכון לבסיס

חוצה ראש

זהירות

תיכון לבסיס אינו קסם

זווית ראש נתונה

איזה משפט חפיפה

צלע משותפת חסרה

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

התיקון

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

הקטע המיוחד אינו מכל קדקוד

אתגר העמקה

דוגמה נוספת: גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים

גובה שהופך לתיכון

מהי טעות נפוצה במשולש שווה שוקיים?