מהי הוכחה גאומטרית
איך יודעים שטענה נכונה תמיד, ולא רק בשרטוט אחד
מה נבנה במודול
להבחין
לסמן
להפריך
לנסח
הוכחה אינה ציור יפה
שרטוט טוב עוזר לראות קשרים, אבל הוכחה מתמטית חייבת להסביר למה הקשר נכון בכל שרטוט שמתאים לנתונים. לכן מתחילים תמיד בשלושה דברים: נתונים, מטרה וגשר אפשרי בין שניהם.
שרטוט מציע, הוכחה מצדיק
בלי סימוני שוויון או נתונים כתובים, אסור להשתמש במה שרק נראה נכון.
מדוגמה להוכחה
דוגמה יכולה לרמוז שטענה נכונה. הוכחה חייבת להראות שהטענה נכונה לכל המקרים שעומדים בתנאים.
טענה כללית אינה נולדת ממראה השרטוט. היא נבנית משרשרת שבה כל צעד נשען על נתון, הגדרה, משפט מוכר או מסקנה שכבר הוכחה.
אם אחד הצעדים נשען רק על ״נראה לי״, השרשרת נחלשת וצריך להחליף אותו בנימוק מתמטי.
דוגמה לרעיון המעבר
מסלול עבודה בטוח
נתונים
סמנו רק מה שנכתב או סומן בשרטוט.
אל תוסיפו שוויון מפני שהוא נראה סביר.
מטרה
כתבו במילים מה צריך להגיע אליו.
מטרה ברורה מונעת שימוש במסקנה לפני הזמן.
גשר
חפשו הגדרה, משפט או כלל מעבר.
הגשר הוא הסיבה שהצעד הבא מותר.
בדיקה
עברו על כל שורה ושאלו מה הנימוק.
אם אין נימוק, חסר שלב.
נתון, כלי ומסקנה
| מה רואים | הכלי המתאים | מה מותר להסיק |
|---|---|---|
| דוגמה | מקרה אחד שמתאים לתנאים | מספיקה להבנה, לא להוכחה כללית |
| השערה | טענה שנראית נכונה | דורשת הוכחה או דוגמה נגדית |
| משפט | טענה שהוכחה | אפשר להשתמש בה כנימוק |
| דוגמה נגדית | מקרה אחד שסותר טענה כללית | מספיקה להפרכה |
* הטבלה אינה תחליף להוכחה. היא עוזרת לבחור את הנימוק הנכון.
דוגמה פתורה: זוויות קודקודיות שוות
שלב 1 מתוך 4מה הנימוק לשוויון הראשון?
דוגמה פתורה: כלל המעבר בקטעים
שלב 1 מתוך 3מה מקור השורה?
דוגמאות מהירות לבדיקה עצמית
מותר להשתמש
נתון כתוב, סימון שוויון, הגדרה, משפט מוכר או מסקנה שכבר הוכחה.
אסור להשתמש
אורך או זווית שרק נראים שווים בשרטוט בלי סימון ובלי נימוק.
טענה כללית
מילים כמו ״כל״, ״תמיד״ או ״לכל״ דורשות הוכחה כללית.
הפרכה
דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להראות שטענה כללית שגויה.
שרשרת טענה-נימוק קצרה
נתונים: הנקודה היא אמצע הקטע . מטרה: להוכיח . השלימו שרשרת בת שלושה צעדים, ובדקו לפני השימוש בהגדרה שהנתון באמת מדבר על אמצע קטע.
דוגמה או הוכחה
דנה בדקה שלושה דלתונים וגילתה שהאלכסונים מאונכים. האם זו הוכחה שכל דלתון מקיים זאת?
מצאו נתון ומטרה
נתון ונתון . הוכיחו .
דוגמה נגדית
הטענה: כל מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות סמוכות שוות הוא דלתון. תנו דוגמה נגדית.
טעות נפוצה ותיקון
הטעות
גם אם שתי צלעות נראות שוות, בהוכחה אסור להשתמש בזה בלי סימון שוויון, נתון כתוב או נימוק שכבר הוכח.
התיקון
חזרו להגדרה, לנתונים ולמשפטים שכבר הוכחו. כל מעבר צריך לקבל נימוק מפורש.
דוגמה: קראו את הנתונים. ← סמנו רק מה שניתן. ← כתבו נימוק לכל צעד. ← בדקו שלא השתמשתם במסקנה לפני שהוכחה.
שאלה לחשיבה
למה דוגמה נגדית אחת מספיקה?
דוגמה נגדית אחת מספיקה כי טענה כללית טוענת שכל המקרים שמקיימים את התנאים מובילים לאותה מסקנה. אם מוצאים מקרה אחד שמקיים את התנאים אבל לא את המסקנה, הטענה הכללית כבר הופרכה.
שאלות חשיבה מחזקות את שרשרת הנימוקים, לא רק את החישוב.
שאלה לחשיבה
מה ההבדל בין שרטוט עוזר לשרטוט מטעה?
שרטוט עוזר כאשר הוא מציע כיוון מחשבה ומאפשר לסמן נתונים, זוויות וצלעות. הוא מטעה כאשר מסיקים ממנו שוויון, ניצבות או הקבלה רק לפי המראה. בהוכחה גאומטרית המסקנות חייבות להישען על נימוקים.
שרטוט אינו נתון
גם אם שתי צלעות נראות שוות, בהוכחה אסור להשתמש בזה בלי סימון שוויון, נתון כתוב או נימוק שכבר הוכח.
- קראו את הנתונים.
- סמנו רק מה שניתן.
- כתבו נימוק לכל צעד.
- בדקו שלא השתמשתם במסקנה לפני שהוכחה.
דוגמה נוספת: מחפשים את הגשר
השלמת גשר בהוכחה
נתון ו-. מטרה: להוכיח . כתבו שרשרת טענה-נימוק.
