מהו זווית חיצונית - בניה והגדרה?

במשולש ABC, מאריכים את הצלע BC מעבר לקדקוד C עד לנקודה D. הזווית \angle ACD היא הזווית החיצונית בקדקוד C. הזווית הסמוכה לה היא \angle ACB (הזווית הפנימית ב-C). הזוויות הלא-סמוכות הן \angle A ו-\angle B. כל קדקוד של משולש מכיל: זווית פנימית אחת + זווית חיצונית אחת = 180^\circ.

זווית חיצונית במשולש ובמצולע

כאשר מאריכים צלע, נוצרת זווית חיצונית שמכילה מידע על שתי הזוויות הפנימיות האחרות

מה נלמד במודול

זווית חיצונית במשולש נוצרת כאשר מאריכים אחת מצלעותיו. גודלה שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות. תכונה זו שימושית בהוכחות ובחישובים, ומכלילה לסכום הזוויות החיצוניות של כל מצולע קמור.

להגדיר

מהי זווית חיצונית ומה ההבדל בין הזוויות הסמוכות לבין הלא-סמוכות.

להוכיח

שזווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות.

להכליל

שסכום הזוויות החיצוניות של כל מצולע קמור הוא 360 מעלות.

ליישם

להשתמש במשפט זווית חיצונית כנימוק בהוכחות ובחישובי זוויות.

הגדרת זווית חיצונית

כאשר מאריכים אחת מצלעות המשולש מעבר לקדקוד, נוצרת זווית חיצונית. לכל קדקוד של המשולש ניתן לבנות זווית חיצונית כזו. הזווית הפנימית באותו קדקוד והזווית החיצונית צמודות ולכן סכומן $18 0^{\circ}$ . שתי הזוויות הפנימיות האחרות (בשני הקדקודים הנותרים) נקראות זוויות לא-סמוכות לזווית החיצונית.

זווית חיצונית - בניה והגדרה

במשולש $A B C$ , מאריכים את הצלע $B C$ מעבר לקדקוד $C$ עד לנקודה $D$ .

הזווית $∠ A C D$ היא הזווית החיצונית בקדקוד $C$ . הזווית הסמוכה לה היא $∠ A C B$ (הזווית הפנימית ב- $C$ ). הזוויות הלא-סמוכות הן $∠ A$ ו- $∠ B$ .

∠ A C D + ∠ A C B = 18 0^{\circ}

כל קדקוד של משולש מכיל: זווית פנימית אחת + זווית חיצונית אחת = $18 0^{\circ}$ .

משפט הזווית החיצונית

המשפט אומר: זווית חיצונית במשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות לה. כלומר, אם $∠ A C D$ היא הזווית החיצונית בקדקוד $C$ , אז $∠ A C D = ∠ A + ∠ B$ . זהו כלי עוצמתי בהוכחות, מפני שהוא מאפשר לקשר בין זוויות בחלקים שונים של שרטוט.

משפט הזווית החיצונית

∠ A C D = ∠ A + ∠ B

דוגמה פתורה: הוכחת משפט הזווית החיצונית

שלב 1 מתוך 3

במשולש

A B C

, הצלע

B C

מוארכת עד לנקודה

D

. הוכיחו כי

∠ A C D = ∠ A + ∠ B

מה הנימוק לסכום הזוויות?

שימוש בזווית חיצונית בחישוב ובהוכחה

משפט הזווית החיצונית הוא נימוק מוכר שמותר להשתמש בו ישירות בהוכחות ובחישובים. כשיש זווית שנוצרה מהארכת צלע, ויש נתונים על שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות, ניתן לחשב את הזווית החיצונית באופן ישיר.

דוגמה פתורה: חישוב זווית חיצונית

שלב 1 מתוך 2

במשולש

A B C

נתון

∠ A = 5 0^{\circ}

ו-

∠ B = 7 0^{\circ}

. הצלע

B C

מוארכת עד לנקודה

D

. מצאו את

∠ A C D

מה הנימוק?

מציאת זווית פנימית בעזרת זווית חיצונית

בינוני

במשולש $P QR$ הצלע $QR$ מוארכת עד לנקודה $S$ . נתון $∠ P R S = 13 0^{\circ}$ ו- $∠ P = 8 0^{\circ}$ . מצאו את $∠ Q$ .

∠ P R S = 13 0^{\circ}, ∠ P = 8 0^{\circ}

סכום הזוויות החיצוניות של מצולע קמור

בכל מצולע קמור (כלומר מצולע ללא שקעים), בנייה של זווית חיצונית אחת בכל קדקוד מניבה סכום כולל של $36 0^{\circ}$ - ללא קשר למספר הצלעות. הנה הסבר: כאשר מהלכים לאורך היקף המצולע ומסובבים בכל קדקוד את הכיוון בגודל הזווית החיצונית, לאחר סיבוב מלא מגיעים חזרה לכיוון ההתחלתי - ולכן סך הסיבובים הוא $36 0^{\circ}$ .

סכום הזוויות החיצוניות - רעיון ההיסט

במצולע קמור בן $n$ צלעות, סכום כל הזוויות הפנימיות הוא $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ .

בכל קדקוד: זווית חיצונית = $18 0^{\circ}$ - זווית פנימית. סכום כל הזוויות החיצוניות = $n \cdot 18 0^{\circ} - (n - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 18 0^{\circ} \cdot (n - (n - 2)) = 18 0^{\circ} \cdot 2 = 36 0^{\circ}$ .

\sum זוויות חיצוניות = 36 0^{\circ}

הסכום 360 מעלות נכון לכל מצולע קמור, גם אם הוא לא משוכלל (לא שווה-צלעות).

סכום זוויות חיצוניות של מצולע קמור

α_{1} + α_{2} + \dots + α_{n} = 36 0^{\circ}

דוגמה פתורה: מציאת זווית חיצונית במצולע משוכלל

שלב 1 מתוך 2

מצולע משוכלל בן 8 צלעות (מתמנה). מהו גודל כל זווית חיצונית?

מה הסכום של כל הזוויות החיצוניות?

כמה צלעות יש במצולע?

בינוני

במצולע משוכלל, כל זווית חיצונית שווה $4 0^{\circ}$ . כמה צלעות יש למצולע?

α = 4 0^{\circ}

זווית חיצונית כנימוק בהוכחות

בהוכחות גאומטריות, משפט הזווית החיצונית מאפשר לקשר בין זוויות שנמצאות בחלקים שונים של שרטוט. לדוגמה, אם מוכיחים שזווית חיצונית גדולה מזווית פנימית כלשהי, ניתן להסיק מסקנות על יחסי גודל בין צלעות. זהו גשר חשוב בפרק זה בין חישוב זוויות לבין הוכחה פורמאלית.

דוגמה פתורה: זווית חיצונית גדולה מזווית פנימית לא-סמוכה

שלב 1 מתוך 3

במשולש

A B C

הצלע

B C

מוארכת עד לנקודה

D

. הוכיחו שהזווית החיצונית

∠ A C D

גדולה מ-

∠ A

וגדולה מ-

∠ B

מה הנימוק?

מתי להשתמש במשפט הזווית החיצונית

חישוב זווית חיצונית

כאשר נתונות שתי זוויות פנימיות ורוצים לחשב את הזווית החיצונית.

פשוט מחברים את שתי הזוויות הלא-סמוכות.

מציאת זווית פנימית

כאשר נתונות הזווית החיצונית וזווית פנימית אחת.

מחסרים את הנתונה מהחיצונית.

הוכחת יחס גודל

כדי להוכיח שזווית חיצונית גדולה מכל זווית פנימית לא-סמוכה.

משתמשים בעובדה שזוויות הן חיוביות.

מצולע משוכלל

כל זווית חיצונית = $36 0^{\circ} \div n$ .

מספר הצלעות = $36 0^{\circ} \div α$ .

הוכחה בפורמט פורמאלי

מאתגר

במשולש $A B C$ , הצלע $A C$ מוארכת מעבר לקדקוד $C$ עד לנקודה $E$ . נתון $∠ A = 4 2^{\circ}$ ו- $∠ A C E = 11 0^{\circ}$ . חשבו את $∠ B$ ואת $∠ A C B$ .

∠ A = 4 2^{\circ}, ∠ A C E = 11 0^{\circ}

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

לחשוב שהזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית הסמוכה. למשל לכתוב $∠ A C D = ∠ A C B$ בגלל שנראה שהן שוות בשרטוט.

התיקון

הזווית החיצונית ( $∠ A C D$ ) והזווית הפנימית הסמוכה ( $∠ A C B$ ) הן זוויות צמודות - סכומן 180 מעלות. הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות ( $∠ A + ∠ B) .$

דוגמה: לא-סמוכות: $∠ A C D = ∠ A + ∠ B$ . צמודות: $∠ A C D + ∠ A C B = 18 0^{\circ}$ .

שאלה לחשיבה

האם ייתכן שזווית חיצונית במשולש תהיה חדה?

לא. לפי משפט הזווית החיצונית, הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הלא-סמוכות. כיוון שכל זווית פנימית חיובית, הסכום גדול מאפס. אם הזווית החיצונית הייתה חדה (קטנה מ-90 מעלות), היו שתי הזוויות הלא-סמוכות יחד פחות מ-90 מעלות, ואז הזווית השלישית (הסמוכה) הייתה חייבת להיות יותר מ-90 מעלות כדי שסכום שלושתן יהיה 180 מעלות. אבל אז הזווית החיצונית (המשלימה לזווית הקהה) הייתה קטנה מ-90 מעלות. זה אפשרי, ולכן זווית חיצונית יכולה להיות חדה - לדוגמה, אם הזווית הפנימית הסמוכה היא 110 מעלות, הזווית החיצונית היא 70 מעלות, שהיא חדה.

שאלה לחשיבה

למה סכום הזוויות החיצוניות של כל מצולע קמור הוא 360 מעלות - לא 180?

כיוון שבמצולע קמור בן n צלעות, סכום כל הזוויות הפנימיות הוא $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ . בכל קדקוד, הזווית החיצונית היא $18 0^{\circ}$ פחות הזווית הפנימית. סך כל הזוויות החיצוניות: $n \cdot 18 0^{\circ} - (n - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 2 \cdot 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ . הסיבוב המלא מסביב למצולע מסביר זאת בצורה ויזואלית: כשעוברים לאורך היקף המצולע ומסובבים בכל קדקוד, חוזרים לכיוון המקורי אחרי סיבוב מלא של 360 מעלות.

הבחנה: סמוכות לעומת לא-סמוכות

כשמבצעים הוכחה עם זוויות חיצוניות, חשוב להבחין בין הזווית הסמוכה (המשלימה ל-180 מעלות) לבין הזוויות הלא-סמוכות (שסכומן שווה לזווית החיצונית).

זהו את הקדקוד שבו נמצאת הזווית החיצונית.
הזווית הסמוכה - הזווית הפנימית באותו קדקוד.
הזוויות הלא-סמוכות - שתי הזוויות הפנימיות בשני הקדקודים האחרים.
ציטטו את הנימוק: 'לפי משפט הזווית החיצונית'.

במשולש

A B C

הארכנו את כל שלוש הצלעות ובנינו בכל קדקוד זווית חיצונית. הוכיחו שסכום שלוש הזוויות החיצוניות שווה ל-

36 0^{\circ}

בשתי דרכים: (1) בעזרת הנוסחה הכללית למצולע קמור; (2) ישירות, בעזרת סכום זוויות משולש וזוויות צמודות.

שאלה 1 מתוך 8

במשולש PQR, הצלע QR מוארכת עד לנקודה S. נתון שהזווית החיצונית PRS = 125° וזווית P = 55°. מהי זווית Q?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקצעדים ראשונים בהוכחה קואורדינטית בפרקתכנון הוכחה בעזרת חפיפה קשורשילוב חפיפה ושווה שוקיים קשורסכום זוויות במשולש

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של זווית חיצונית במשולש ובמצולע כבר מוכן.

פתחו תרגול

זווית חיצונית במשולש ובמצולע

מה נלמד במודול

הגדרת זווית חיצונית

זווית חיצונית - בניה והגדרה

משפט הזווית החיצונית

דוגמה פתורה: הוכחת משפט הזווית החיצונית

שימוש בזווית חיצונית בחישוב ובהוכחה

דוגמה פתורה: חישוב זווית חיצונית

מציאת זווית פנימית בעזרת זווית חיצונית

סכום הזוויות החיצוניות של מצולע קמור

סכום הזוויות החיצוניות - רעיון ההיסט

דוגמה פתורה: מציאת זווית חיצונית במצולע משוכלל

כמה צלעות יש במצולע?

זווית חיצונית כנימוק בהוכחות

דוגמה פתורה: זווית חיצונית גדולה מזווית פנימית לא-סמוכה

מתי להשתמש במשפט הזווית החיצונית

חישוב זווית חיצונית

מציאת זווית פנימית

הוכחת יחס גודל

מצולע משוכלל

הוכחה בפורמט פורמאלי

טעות נפוצה ותיקון

הטעות

התיקון

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

הבחנה: סמוכות לעומת לא-סמוכות

אתגר העמקה: מצולע עם מידע על זוויות חיצוניות

במשולש PQR, הצלע QR מוארכת עד לנקודה S. נתון שהזווית החיצונית PRS = 125° וזווית P = 55°. מהי זווית Q?