תכנון הוכחה בעזרת חפיפה
ממטרה למשולשים, ממשולשים לחלקים מתאימים
מה נבנה במודול
לתכנן
לאסוף
לבחור
להסיק
חפיפה היא גשר, לא יעד סופי
ברוב ההוכחות לא מבקשים רק להוכיח שמשולשים חופפים. מבקשים שוויון צלעות, שוויון זוויות, חצייה או ניצבות. החפיפה היא הגשר שמאפשר להסיק את החלקים המתאימים האלה.
חפיפה בתוך דלתון
האלכסון הראשי מחבר את שני הקדקודים שבהם נפגשים זוגות הצלעות השוות.
מפת תכנון חפיפה
לפני שכותבים חפיפה, שואלים איזה שוויון חסר לנו ומהם שני המשולשים שיכולים לתת אותו.
המסלול הוא: מטרה ← בחירת משולשים ← איסוף שלושה זוגות מתאימים ← משפט חפיפה ← חלקים מתאימים ← מסקנה.
אם לא יודעים אילו חלקים מתאימים אחרי החפיפה, כנראה שסדר הקודקודים לא נכתב בזהירות.
שלושת משפטי החפיפה המרכזיים בפרק
מסלול עבודה בטוח
התחילו מהמטרה
אם צריך , חפשו משולשים שבהם אלה צלעות מתאימות.
המטרה מכוונת את הבחירה.
סדר קודקודים
כתבו חפיפה בסדר שמתאים לחלקים.
סדר לא נכון מוביל למסקנות שגויות.
בדיקת משפט
סמנו האם יש צלע, זווית, צלע.
ודאו שהזווית כלואה בצ.ז.צ.
מסקנה
אחרי חפיפה, עברו לחלקים המתאימים.
כתבו את המטרה בדיוק.
סדנה: חפיפה לפי ש.צ.ש ו-ז.צ.ז
נתון, כלי ומסקנה
| מה רואים | הכלי המתאים | מה מותר להסיק |
|---|---|---|
| צ.צ.צ | שלושה זוגות צלעות | יציב במיוחד בדלתון ובתיכון לבסיס |
| צ.ז.צ | שתי צלעות והזווית הכלואה | נפוץ עם חוצה זווית וצלע משותפת |
| ז.צ.ז | שתי זוויות והצלע שביניהן | נפוץ במשפטים הפוכים |
| לא מספיק | ז.ז.ז או צלע וזווית בלבד | לא מוכיח חפיפה |
* הטבלה אינה תחליף להוכחה. היא עוזרת לבחור את הנימוק הנכון.
דוגמה פתורה: תכנון חפיפה בדלתון
שלב 1 מתוך 5למה אלה המשולשים?
דוגמה פתורה: חפיפה לפי ז.צ.ז
שלב 1 מתוך 5איזה סוג נתון זה?
דוגמאות מהירות לבדיקה עצמית
צ.צ.צ
שלוש צלעות, כמו בדלתון עם אלכסון משותף.
צ.ז.צ
שתי צלעות וזווית כלואה, כמו חוצה זווית עם צלע משותפת.
ז.צ.ז
שתי זוויות והצלע שביניהן, כמו בהוכחת משפט הפוך אחרי השלמת זווית שלישית.
לא מספיק
ז.ז.ז מוכיח דמיון כיוון צורה, לא חפיפה מלאה.
סדנת תכנון הוכחה: שרשרת טענה-נימוק
בדיקת זווית כלואה לפני צ.ז.צ
נתונים: , חוצה את . מטרה: להוכיח . בנו שרשרת טענה-נימוק ובדקו שהזווית שבחרתם כלואה בין שתי הצלעות.
בחירת משפט חפיפה
נתונים שלושה זוגות צלעות שוות בין שני משולשים. איזה משפט חפיפה מתאים?
הזווית חייבת להיות כלואה
יש שתי צלעות שוות וזווית שאינה ביניהן. האם אפשר להשתמש בצ.ז.צ?
מה המטרה קובעת
רוצים להוכיח . אחרי חפיפת משולשים, מה צריך לבדוק?
טעות נפוצה ותיקון
הטעות
לפני שכותבים שהמשולשים חופפים, חייבים לציין את כל הנתונים שמפעילים את משפט החפיפה. אחרי החפיפה חייבים לבדוק התאמה לפני מסקנה.
התיקון
חזרו להגדרה, לנתונים ולמשפטים שכבר הוכחו. כל מעבר צריך לקבל נימוק מפורש.
דוגמה: בחרו משולשים לפי המטרה. ← אספו בדיוק שלושה נתונים מתאימים. ← בחרו משפט חפיפה. ← כתבו חלקים מתאימים לפי הסדר.
שאלה לחשיבה
למה כדאי להתחיל מהמטרה?
כדאי להתחיל מהמטרה כי היא מגלה איזה שוויון או יחס צריך להוכיח בסוף. אם המטרה היא שוויון צלעות או זוויות, מחפשים שני משולשים שבהם החלקים האלה יכולים להיות מתאימים אחרי חפיפה.
שאלות חשיבה מחזקות את שרשרת הנימוקים, לא רק את החישוב.
שאלה לחשיבה
מה קורה אם סדר החפיפה לא נכון?
סדר חפיפה לא נכון עלול לגרום להסיק שוויון בין חלקים שאינם מתאימים. למשל, צלע אחת במשולש הראשון תותאם בטעות לצלע אחרת במשולש השני. לכן סדר הקודקודים בסימון החפיפה הוא חלק מהנימוק.
חפיפה לא נכתבת לפי תחושה
לפני שכותבים שהמשולשים חופפים, חייבים לציין את כל הנתונים שמפעילים את משפט החפיפה. אחרי החפיפה חייבים לבדוק התאמה לפני מסקנה.
- בחרו משולשים לפי המטרה.
- אספו בדיוק שלושה נתונים מתאימים.
- בחרו משפט חפיפה.
- כתבו חלקים מתאימים לפי הסדר.
דוגמה נוספת: בחירת משפט חפיפה
צלע משותפת כחלק מתכנון
במשולשים ו-: , , ו- משותפת. איזה משפט חפיפה מתאים?
