במשולש ABC נתון \angle A = 55^\circ ו-\angle B = 65^\circ. מהו \angle C?

55^\circ + 65^\circ + \angle C = 180^\circ 120^\circ + \angle C = 180^\circ \angle C = 60^\circ

סכום זוויות במשולש

Q: מהו הוכחה בקיפול?

הנה דרך פשוטה ויפה לראות למה סכום הזוויות הוא 180^\circ: 1. קחו דף נייר ושרטטו עליו משולש כלשהו. 2. גזרו את המשולש. 3. קפלו את שלוש הפינות (הקודקודים) של המשולש כך שכולן נוגעות בנקודה אחת על אחת הצלעות. 4. שלוש הזוויות המקופלות ייצרו יחד קו ישר - כלומר 180^\circ! שלוש הזוויות של כל משולש, כשמניחים אותן זו ליד זו, יוצרות זווית שטוחה (180^\circ).

Q: האם יכול להיות משולש עם שתי זוויות ישרות? הסבירו.

לא. אם שתי זוויות היו ישרות, היינו מקבלים 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ, ואז לא היה נשאר מקום לזווית שלישית. היא הייתה צריכה להיות 0^\circ, וזה בלתי אפשרי במשולש.

Q: הוכיחו שסכום שתי הזוויות החדות במשולש ישר-זווית הוא 90^\circ.

אם \angle A = 90^\circ, אז: 90^\circ + \angle B + \angle C = 180^\circ \angle B + \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ לכן סכום שתי הזוויות החדות הוא 90^\circ.

אחד הכללים הבסיסיים ביותר בגאומטריה - סכום הזוויות במשולש תמיד 180 מעלות

תמיד 180 מעלות!

כל משולש, ללא קשר לגודלו, לצורתו או לסוגו, יש לו תכונה מיוחדת: סכום שלוש הזוויות שלו תמיד 180 מעלות! זה אחד הכללים הבסיסיים והחשובים ביותר בגאומטריה.

הכלל

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

בכל משולש

הוכחה

קיפול נייר וזוויות מתחלפות

שימוש

מציאת זווית שלישית כשיודעים שתיים

הכלל

כלל סכום זוויות במשולש:
סכום שלוש הזוויות הפנימיות של כל משולש הוא 180 מעלות.

ניסוח: $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$

נוסחת היסוד למשולש

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

הוכחה אינטואיטיבית - קיפול נייר

הוכחה בקיפול

הנה דרך פשוטה ויפה לראות למה סכום הזוויות הוא $18 0^{\circ}$ :

1. קחו דף נייר ושרטטו עליו משולש כלשהו.
2. גזרו את המשולש.
3. קפלו את שלוש הפינות (הקודקודים) של המשולש כך שכולן נוגעות בנקודה אחת על אחת הצלעות.
4. שלוש הזוויות המקופלות ייצרו יחד קו ישר - כלומר $18 0^{\circ}$ !

שלוש הזוויות של כל משולש, כשמניחים אותן זו ליד זו, יוצרות זווית שטוחה ( $18 0^{\circ}) .$

דוגמאות וחישובים

משולש שווה-צלעות

כל הזוויות שוות:
$∠ A = ∠ B = ∠ C$
$3 \cdot ∠ A = 18 0^{\circ}$
$∠ A = 6 0^{\circ}$

כל זווית = $6 0^{\circ}$ .

משולש ישר-זווית

$∠ A = 9 0^{\circ}, ∠ B = 3 5^{\circ}$ .
$∠ C = ?$

$9 0^{\circ} + 3 5^{\circ} + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$∠ C = 18 0^{\circ} - 12 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$

משולש שווה-שוקיים

$∠ A = 8 0^{\circ}$ (ראש), $∠ B = ∠ C$ .
$8 0^{\circ} + 2∠ B = 18 0^{\circ}$
$2∠ B = 10 0^{\circ}$
$∠ B = 5 0^{\circ}$

חישוב כללי

$∠ A = 5 0^{\circ}, ∠ B = 7 0^{\circ}$ .
$∠ C = ?$

$5 0^{\circ} + 7 0^{\circ} + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$∠ C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$

טוען סימולציה...

נסו בבית - הוכחה בקיפול

אחרי שראיתם בסימולציה איך שלוש הזוויות יוצרות יחד $18 0^{\circ}$ , נסו את זה גם פיזית: שרטטו משולש כלשהו על דף, גזרו אותו, קפלו את שלוש הפינות לכיוון המרכז - ותקבלו זווית שטוחה. נסו זאת עם משולש חד-זווית, ישר-זווית וקהה-זווית. התוצאה זהה תמיד!

דוגמה פתורה - למצוא את הזווית השלישית

שלב 1 מתוך 3

∠ A = 4 8^{\circ}, ∠ B = 6 7^{\circ}, ∠ C = ?

משתמשים בכלל סכום הזוויות במשולש

4 8^{\circ} + 6 7^{\circ} + ∠ C = 18 0^{\circ}

תרגיל - שתי זוויות חדות במשולש ישר-זווית

בינוני

במשולש ישר-זווית אחת הזוויות החדות היא $2 8^{\circ}$ . מהי הזווית החדה השנייה?

מסקנות חשובות

מה נובע מהכלל?

במשולש ישר-זווית

סכום שתי הזוויות החדות = $9 0^{\circ}$ (כי $18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ})$

לכל היותר זווית קהה אחת

אם יש זווית קהה $(> 9 0^{\circ})$ , שתי האחרות חייבות להיות חדות

משולש שווה-צלעות

כל זווית = $6 0^{\circ}$ (כי $18 0^{\circ} \div 3 = 6 0^{\circ})$

אי אפשר 2 זוויות ישרות

$9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , לא נשאר מקום לזווית שלישית!

שאלה לחשיבה

במשולש $A B C$ נתון $∠ A = 5 5^{\circ}$ ו- $∠ B = 6 5^{\circ}$ . מהו $∠ C$ ?

$5 5^{\circ} + 6 5^{\circ} + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$12 0^{\circ} + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$∠ C = 6 0^{\circ}$

שאלה לחשיבה

האם יכול להיות משולש עם שתי זוויות ישרות? הסבירו.

לא. אם שתי זוויות היו ישרות, היינו מקבלים $9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , ואז לא היה נשאר מקום לזווית שלישית. היא הייתה צריכה להיות $0^{\circ}$ , וזה בלתי אפשרי במשולש.

שאלה לחשיבה

הוכיחו שסכום שתי הזוויות החדות במשולש ישר-זווית הוא $9 0^{\circ}$ .

אם $∠ A = 9 0^{\circ}$ , אז:
$9 0^{\circ} + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$

לכן סכום שתי הזוויות החדות הוא $9 0^{\circ}$ .

שאלה 1 מתוך 9

מהו סכום שתי הזוויות החדות במשולש ישר-זווית?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של סכום זוויות במשולש כבר מוכן.

פתחו תרגול