שילוב ביטויים אלגבריים

כל מה שלמדנו עם מספרים עובד גם עם משתנים

כל החוקים עובדים גם עם משתנים

כל חוק שלמדנו בפרק הזה - חילוף, קיבוץ, פילוג, חיסור סוגריים - עובד בדיוק אותו דבר עם משתנים.

x

הוא פשוט שומר-מקום למספר.

אם

3 \cdot (10 + 2) = 3 \cdot 10 + 3 \cdot 2 = 36

, אז גם

3 (x + 2) = 3 x + 6

. אותו חוק, רק עם אות במקום מספר.

שלב 1

פתיחת סוגריים עם חוק הפילוג

שלב 2

פתיחת סוגריים עם מינוס (היפוך סימן)

שלב 3

כינוס איברים דומים

עקרון ההצבה

אם כלל נכון לכל המספרים, הוא נשאר נכון גם כשבמקום מספר מציבים ביטוי. למשל, $a + b = b + a$ נכון לכל $a, b$ , ולכן גם $(x + 3) + 2 = 2 + (x + 3)$ נכון. זאת בדיוק הסיבה שכל חוקי הפרק עוברים מהמספרים אל האלגברה.

שלוש הנוסחאות הבסיסיות

חוק הפילוג עם משתנים

a (b + c) = ab + a c

(1)

חיסור סוגריים עם משתנים

- (a + b) = - a - b

(2)

כינוס איברים דומים

a x + b x = (a + b) x

(3)

הדגמה ויזואלית - מלבן שמתפצל

טוען סימולציה...

המודל הראשון מראה שהפילוג באלגברה הוא לא רק משחק סמלים: גם כשמופיע $2 x$ , אפשר לראות את הביטוי כשטח שמתחלק לשני חלקים.

הדגמה - פתיחת סוגריים עם מינוס

טוען סימולציה...

הכלי השני מחליף ייצוג: במקום שטח, הוא מדגיש את היפוך הסימנים. כך רואים שהמינוס לא נעלם, אלא משפיע על כל מה שבתוך הסוגריים.

הדגמה - מעבדת שילוב החוקים

טוען סימולציה...

כאן כבר לא רק מסתכלים. בוחרים צעד, בודקים בהצבה, ומתקנים טעות נפוצה עד שרואים איך שלושת החוקים עובדים יחד באותו ביטוי.

דוגמה פתורה - פישוט מקיף

פשטו: 3(2x + 5) - 2(x - 3)

3 (2 x + 5) - 2 (x - 3)

איך מוודאים? בדיקה בהצבה

הצבת ערך היא כלי עוצמתי לאימות - גם במתמטיקה וגם בתכנות.

אחרי כל פישוט - הציבו מספר קל (כמו $x = 2$ ) בביטוי המקורי ובמפושט.

אם התוצאות שוות - הפישוט כנראה נכון.
אם הן שונות - יש שגיאה!

בדיקה עם $x = 2$ עבור $3 (2 x + 5) - 2 (x - 3)$ :
מקורי: $3 (9) - 2 (- 1) = 27 + 2 = 29$
מפושט: $4 (2) + 21 = 8 + 21 = 29$

במתמטיקה, זו בדיקת תקינות. גם בתכנות בודקים בדרך דומה שצורה חדשה של חישוב עדיין נותנת אותה תוצאה.

הצבה היא הכלי הכי מהיר לזיהוי שגיאות בפישוט.

המגבלה שנשארת: חלוקה-באפס

גם בביטוי אלגברי, חלוקה-באפס אסורה.

הביטוי $\frac{x + 1}{2 x - 6}$ לא מוגדר כשהמכנה שווה לאפס.

$2 x - 6 = 0 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$

לכן תחום הביטוי: $x \neq = 3$ .

כלל: בכל ביטוי עם $x$ במכנה, מוצאים אילו ערכים מאפסים את המכנה ואוסרים אותם.

חוקי הפרק עוברים לאלגברה, וגם האיסור על חלוקה-באפס נשאר.

בפיזיקה: מפשטים נוסחאות לפני הצבה

בפיזיקה מרבים לפשט נוסחאות לפני שמציבים ערכים.

נניח שבמהלך חישוב מתקבל הביטוי $3 (2 a + 5) - 2 (a - 3)$ .

אחרי פישוט מתקבלת הצורה $4 a + 21$ .

עכשיו הרבה יותר קל להציב ערכים שונים של $a$ , לבדוק חישובים ולזהות טעויות. כך עובדים גם בפיזיקה וגם במדעי המחשב: קודם מסדרים את הנוסחה, אחר כך משתמשים בה.

פישוט טוב הופך נוסחה ארוכה לנוסחה שקל לעבוד איתה.

מעבדת תרגול

התחילו בחימום מהיר כדי להשלים את החלק החסר, ואז עברו למסלול המודרך שבו בוחרים את הצעד הבא. המטרה היא לא רק להגיע לתשובה, אלא גם לדעת למה היא נכונה.

טוען סימולציה...

תרגילים כתובים

תרגיל 1

בסיסי

פשטו:

2 (x + 3) + 4 x

תרגיל 2

בינוני

פשטו (זהירות עם הסימן):

5 (2 a - 3) - (a + 4)

תרגיל 3 - מצאו את הטעות

מאתגר

תלמיד פישט כך. מצאו את הטעות ותקנו:

4 (2 x + 1) - (x + 3) = 8 x + 4 - x + 3 = 7 x + 7

תרגיל 4 - מגבלת תחום

מאתגר

עבור אילו ערכי $x$ הביטוי לא מוגדר?

\frac{x + 1}{2 x - 6}

שלושת שלבי הפישוט

בכל פישוט ביטוי - תמיד באותו סדר:

שלב 1: פתיחת סוגריים עם חוק הפילוג ( $a (b + c) = ab + a c)$
שלב 2: פתיחת סוגריים עם מינוס ( $- (b + c) = - b - c)$
שלב 3: כינוס איברים דומים ( $a x + b x = (a + b) x)$

שאלה לחשיבה

פשטו $3 x (2 + 1) - 6 x$ והוכיחו בהצבת $x = 2$ .

שלב 1: $3 x \cdot 3 - 6 x = 9 x - 6 x$ ; שלב 2: $3 x$ .
בדיקה: $3 (2) (3) - 6 (2) = 18 - 12 = 6$ ; מפושט: $3 \cdot 2 = 6$ .

המשתנה $x$ הוא שומר-מקום לכל מספר. אם טענה נכונה לכל מספר, היא נכונה גם ל- $x$ .

למשל: $a (b + c) = ab + a c$ נכון לכל $a, b, c$ ממשיים. אם נבחר $a = 3, b = x, c = 2$ , נקבל $3 (x + 2) = 3 x + 6$ - ותמיד יהיה נכון. זהו עקרון ההצבה - אחד מיסודות האלגברה.

שאלה 1 מתוך 8

פשטו: $2 (x + 3) + 4 x$

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שילוב ביטויים אלגבריים כבר מוכן.

פתחו תרגול

שילוב ביטויים אלגבריים

כל החוקים עובדים גם עם משתנים

עקרון ההצבה

שלוש הנוסחאות הבסיסיות

הדגמה ויזואלית - מלבן שמתפצל

הדגמה - פתיחת סוגריים עם מינוס

הדגמה - מעבדת שילוב החוקים

דוגמה פתורה - פישוט מקיף

פשטו: 3(2x + 5) - 2(x - 3)

איך מוודאים? בדיקה בהצבה

המגבלה שנשארת: חלוקה-באפס

בפיזיקה: מפשטים נוסחאות לפני הצבה

מעבדת תרגול

תרגילים כתובים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3 - מצאו את הטעות

תרגיל 4 - מגבלת תחום

שלושת שלבי הפישוט

שאלה לחשיבה

למה חוקי מספרים עוברים לאלגברה?

פשטו: 2(x+3)+4x