חוק הפילוג עם חיסור

מה קורה כשמכפילים בהפרש? הסימן חשוב מאוד!

מה קורה כשמחסרים?

בחלק א׳ ראינו שכפל מתפלג על חיבור:

a (b + c) = ab + a c

. עכשיו נשאל: האם זה עובד גם עם חיסור?

הדוגמה הפשוטה ביותר:

8 \times 19

. 19 הוא

20 - 1

. אז

8 \times 19 = 8 \times (20 - 1)

. האם אפשר לפלג גם כאן?

סיפור מהעבר: מחירים ומשא ומתן

בשווקים בימי קדם סוחרים חישבו הנחות על מוצרים בסיטונאות. אם מישהו קנה $7$ שקיות דגן שמחירן $20$ מטבעות כל אחת, עם הנחה של $3$ מטבעות לשקית, הם חישבו: $7 \cdot (20 - 3) = 7 \cdot 20 - 7 \cdot 3 = 140 - 21 = 119$ . חוק הפילוג על החיסור היה כלי חיוני לחישוב מחירים לפני ימי המחשבון.

חוק הפילוג על החיסור

חוק הפילוג של הכפל על החיסור

a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c

(1)

כינוס בחיסור

a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)

(2)

הסימן נשמר: כשמפלגים כפל על חיסור, המינוס עובר לתוצאה. $a (b - c) = ab - a c$ . שימו לב לסימן המינוס בתוצאה!

לא חוק חדש - אותו חוק עם סימן אחר

במודול הקודם למדנו $a (b + c) = ab + a c$ . כאן הכפל עדיין מגיע לכל איבר בסוגריים, אבל בתוך הסוגריים יש מינוס - ולכן גם בתוצאה יופיע מינוס. כלומר, הרעיון אותו רעיון בדיוק, רק עם סימן אחר לשמור עליו.

טוען סימולציה...

הוכחה גיאומטרית: מלבן עם הסרה

ניתן לדמות $8 \times 19$ כמלבן בגובה 8 ורוחב 19. ציירו מלבן בגובה 8 ורוחב 20, ואז הסירו פס ברוחב 1. השטח שנותר הוא בדיוק $8 \times 20 - 8 \times 1 = 160 - 8 = 152$ .

$8 \times 19 = 8 \times 20 - 8 \times 1$

$8 \times 20$ (מלבן מלא) פחות $8 \times 1$ (הפס האדום) = $8 \times 19 = 152$

דוגמה פתורה: $8 \times 19$ בראש

חישוב 8×19 על ידי פילוג

שלב 1 מתוך 4

8 \times 19

מדוע לפרק 19 כ- $20 - 1$ ?

כינוס: 6·9 - 6·2

שלב 1 מתוך 3

6 \cdot 9 - 6 \cdot 2

מה הגורם המשותף?

מלכודת הסימן - המקום שנופלים!

המלכודת של הסימן

השגיאה הנפוצה ביותר בחוק הפילוג עם חיסור.

תלמיד חישב: $5 (10 - 3) = 5 \cdot 10 - 3 = 50 - 3 = 47$ . טעות!

מה שגוי: שכח לכפול גם את 3 ב-5!

נכון: $5 (10 - 3) = 5 \cdot 10 - 5 \cdot 3 = 50 - 15 = 35$

בדיקה: $5 (10 - 3) = 5 \cdot 7 = 35$ . אכן 35!

$a (b - c) = ab - a c$

זוכרים: $a (b - c) = ab - a c$ ולא $ab - c$ . כופלים כל איבר בסוגריים, כולל זה שאחרי המינוס!

בחיים: הנחה בחנות

חישוב הנחה על 5 פריטים

חנויות משתמשות בחוק הפילוג כדי לחשב הנחות.

קנינו $5$ פריטים, כל אחד עלה $25$ שקל אבל יש הנחה של $3$ שקל לפריט.

שיטה 1 (מחיר אחרי הנחה): $5 \cdot (25 - 3) = 5 \cdot 22 = 110$ שקל

שיטה 2 (חוק הפילוג): $5 \cdot 25 - 5 \cdot 3 = 125 - 15 = 110$ שקל

שתי הדרכים נותנות 110 שקל. שיטה 2 שימושית כשרוצים לדעת כמה חסכנו ( $5 \cdot 3 = 15$ שקל).

כשמחשבים הנחה לכמה פריטים, חוק הפילוג מפריד בין המחיר המלא לבין ההנחה.

שני כללי זהב

בפילוג על חיסור שומרים גם על הכפל וגם על המינוס.

$a (b - c) = ab - a c$ - לא $ab + a c$
כתבו קודם את שתי המכפלות ורק אחר כך חשבו את הערכים
בדקו את עצמכם: חשבו פעם אחת דרך הסוגריים ופעם אחת דרך הפילוג

שאלה לחשיבה

האם אפשר להשתמש בחוק הפילוג כאשר הגורם החיצוני שלילי? לדוגמה: $(- 3) \cdot (4 - 2)$ ?

כן! $(- 3) (4 - 2) = (- 3) \cdot 4 - (- 3) \cdot 2 = - 12 - (- 6) = - 12 + 6 = - 6$ .
בדיקה: $(- 3) (4 - 2) = (- 3) (2) = - 6$ . נכון!

הרחבה: חיסור מרובה

חוק הפילוג עובד גם עם יותר מחיסור אחד: $a (b - c - d) = ab - a c - a d$ . הגורם $a$ מכפיל כל איבר בתוך הסוגריים, כולל כולם.

דוגמה: $3 (10 - 2 - 1) = 30 - 6 - 3 = 21$ . בדיקה: $3 \cdot 7 = 21$ . נכון! זה שימושי מאוד כשמחשבים הנחות מרובות.

תרגולים מודרכים

תרגיל 1 - בסיסי

בסיסי

חשבו:

4 \times (10 - 2)

תרגיל 2 - חישוב בעל פה

בינוני

חשבו בראש:

7 \times 99

תרגיל 3 - כינוס עם חיסור

מאתגר

כנסו לגורם משותף:

5 \cdot 8 - 5 \cdot 3

תרגיל 4 - מציאת השגיאה

מאתגר

תלמיד חישב: $6 \cdot (10 - 4) = 6 \cdot 10 - 4 = 56$ . מצאו את השגיאה.

מעבדת תרגול

בחרו מצב חזרה מהירה או מסלול פתרון מודרך. המטרה כאן היא לא רק להגיע לתשובה, אלא לראות בכל פעם מחדש איפה נשמר המינוס ואיפה חייבים לכפול את שני האיברים.