מהו חלוקת כל איבר במכנה?

כשיש ביטוי מורכב במונה, אפשר לפשט על ידי חלוקת כל איבר בנפרד. \frac =? נחלק כל איבר במונה ב-2: \frac + \frac = x + 3 לכן: \frac = x + 3 בדיקה: x = 4 \frac = \frac = 7 x + 3 = 4 + 3 = 7. מושלם! אפשר לפשט שבר אלגברי כשכל האיברים מתחלקים במכנה.

האם \frac ו-0.25x הם ביטויים שווי ערך?

כן! \frac = x \cdot \frac = 0.25x. הם שווים לכל הצבה. למשל: x = 20, אז \frac = 5, ו-0.25 \cdot 20 = 5.

\frac = \frac + \frac = 2x + 3 בדיקה: x = 1, מקורי = \frac = 5, מפושט = 2 + 3 = 5.

האם \frac שווה ל-\frac + 3?

לא! \frac = \frac + \frac = \frac + 1.5, ולא \frac + 3. בדיקה: x = 4, \frac = 3.5, אבל \frac + 3 = 5. לא שווים!

ביטויים אלגבריים בשברים

קו השבר - דרך חדשה לכתוב חילוק

שברים באלגברה

כשחילקנו 12 ב-4, כתבנו

12 \div 4 = 3

. אבל באלגברה, יש דרך אלגנטית יותר לכתוב חילוק - באמצעות קו שבר. במקום

x \div 4

נכתוב

\frac{x}{4}

במודול הזה נלמד לעבוד עם ביטויים אלגבריים שכוללים שברים, ונגלה שקשרים מפתיעים בין שברים לעשרוניים.

קו השבר

סימן חילוק מרומז

שקילות

\frac{x}{4} = 0.25 x

- אותו דבר בתחפושת

הצבה בשברים

חישוב ערך ביטויים עם שברים

קו השבר = חילוק

כלל יסודי: קו השבר הוא סימן חילוק.
$\frac{x}{4}$ פירושו: $x$ חלקי $4$ .
$\frac{2 x + 6}{2}$ פירושו: הביטוי $(2 x + 6)$ חלקי $2$ .

הגדרת קו השבר

\frac{a}{b} = a \div b (b \neq = 0)

(1)

פירוק שבר על מונה בעל כמה איברים

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} (c \neq = 0)

(2)

שתי דרכים לכתוב חילוק

סימן חילוק

$x \div 4$
$(2 x + 6) \div 2$
כתיבה שמוכרת מהיסודי.

דוגמה: $12 \div 4 = 3$

קו שבר

$\frac{x}{4}$
$\frac{2 x + 6}{2}$
כתיבה אלגנטית ונפוצה יותר באלגברה.

דוגמה: $\frac{12}{4} = 3$

שתי הכתיבות שקולות. באלגברה נהוג להשתמש בקו שבר.

שקילות מפתיעה: שברים ועשרוניים

הנה גילוי מעניין: כל שבר אלגברי אפשר לכתוב גם כמכפלה בעשרוני! זו אותה פעולה, רק בתחפושת אחרת.

שברים = מכפלות

כתיבה כשבר	כתיבה כמכפלה	הסבר
$\frac{x}{2}$	$0.5 x$	חצי מ- $x$
$\frac{x}{4}$	$0.25 x$	רבע מ- $x$
$\frac{x}{5}$	$0.2 x$	חומש מ- $x$
$\frac{x}{10}$	$0.1 x$	עשירית מ- $x$
$\frac{3 x}{4}$	$0.75 x$	שלושה רבעים מ- $x$

* כל הזוגות הם שווי ערך - נותנים אותה תוצאה לכל הצבה!

הוכחה: למה $\frac{x}{4} = 0.25 x$ ?

הראו ש-

\frac{x}{4} = 0.25 x

לכל ערך של

x

דוגמאות פתורות

עבודה עם שברים אלגבריים

הצבה בשבר פשוט

$\frac{x}{4}$ כאשר $x = 12$
$\frac{12}{4} = 3$

שבר + קבוע

$\frac{x}{3} + 5$ כאשר $x = 9$
$\frac{9}{3} + 5 = 3 + 5 = 8$

מונה מורכב

$\frac{2 x + 6}{2}$ כאשר $x = 5$
$\frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$

שקול ל: $x + 3 = 5 + 3 = 8$

בדיקת שקילות

$\frac{x}{4}$ ו- $0.25 x$ כש- $x = 8$
$\frac{8}{4} = 2$
$0.25 \cdot 8 = 2$
שווים!

פישוט שברים אלגבריים

חלוקת כל איבר במכנה

כשיש ביטוי מורכב במונה, אפשר לפשט על ידי חלוקת כל איבר בנפרד.

$\frac{2 x + 6}{2} = ?$

נחלק כל איבר במונה ב- $2$ :
$\frac{2 x}{2} + \frac{6}{2} = x + 3$

לכן: $\frac{2 x + 6}{2} = x + 3$

בדיקה: $x = 4$
$\frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x + 3 = 4 + 3 = 7$ . מושלם!

$\frac{a x + b}{a} = x + \frac{b}{a}$

אפשר לפשט שבר אלגברי כשכל האיברים מתחלקים במכנה.

עוד דוגמאות לפישוט

$\frac{4 x + 8}{4} = x + 2$ (כי $\frac{4 x}{4} = x$ , $\frac{8}{4} = 2)$
$\frac{6 a - 12}{6} = a - 2$ (כי $\frac{6 a}{6} = a$ , $\frac{12}{6} = 2)$
$\frac{10 y + 5}{5} = 2 y + 1$ (כי $\frac{10 y}{5} = 2 y$ , $\frac{5}{5} = 1)$
$\frac{3 x}{3} = x$ (פשוט!)

תרגיל - פישוט שבר אלגברי

בינוני

פשטו את הביטוי:

\frac{8 x + 12}{4}

שאלות לחשיבה

שאלה לחשיבה

האם $\frac{x}{4}$ ו- $0.25 x$ הם ביטויים שווי ערך?

כן! $\frac{x}{4} = x \cdot \frac{1}{4} = 0.25 x$ . הם שווים לכל הצבה.
למשל: $x = 20$ , אז $\frac{20}{4} = 5$ , ו- $0.25 \cdot 20 = 5$ .

לחלק ב- $4$ זה אותו דבר כמו לכפול ב- $0.25$

שאלה לחשיבה

פשטו: $\frac{6 x + 9}{3}$

$\frac{6 x + 9}{3} = \frac{6 x}{3} + \frac{9}{3} = 2 x + 3$
בדיקה: $x = 1$ , מקורי $= \frac{15}{3} = 5$ , מפושט $= 2 + 3 = 5$ .

כל איבר מתחלק ב- $3$ , לכן הפישוט אפשרי

שאלה לחשיבה

האם $\frac{x + 3}{2}$ שווה ל- $\frac{x}{2} + 3$ ?

לא! $\frac{x + 3}{2} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = \frac{x}{2} + 1.5$ , ולא $\frac{x}{2} + 3$ .
בדיקה: $x = 4$ , $\frac{4 + 3}{2} = 3.5$ , אבל $\frac{4}{2} + 3 = 5$ . לא שווים!

צריך לחלק גם את ה- $3$ ב- $2$ , לא רק את ה- $x$

טעויות נפוצות

הימנעו מטעויות!

$1. \frac{x + 3}{2} = x + \frac{3}{2}$ - שגוי! צריך לחלק את כל המונה: $\frac{x + 3}{2} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

2. שכחת שמכנה $0$ אסור: בביטוי $\frac{x}{n - 3}$ , ה- $n$ לא יכול להיות $3$

$3. \frac{x}{0} = 0$ - שגוי! חילוק באפס לא מוגדר כלל

סיכום

קו שבר = חילוק

$\frac{x}{4} = x \div 4 = 0.25 x$

פישוט

מחלקים כל איבר במונה בנפרד.

מכנה 0

אסור! חילוק באפס לא מוגדר.

שבר ועשרוני - אינטראקטיבי

בחרו דוגמה, שנו את $x$ , ובדקו איך שתי הכתיבות נשארות שוות בלי עומס מיותר על המסך.

טוען סימולציה...

שברים אלגבריים מופיעים בכל מקום: מהירות ממוצעת = מרחק כולל / זמן כולל, ציון ממוצע = סכום הציונים / מספר המבחנים, צפיפות = מסה / נפח.

כל הנוסחאות האלה הן שברים אלגבריים! ברגע שמציבים ערכים, מקבלים תשובה מספרית.

שאלה 1 מתוך 5

האם $x /4$ שווה ל- $0.25 x$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של ביטויים אלגבריים בשברים כבר מוכן.

פתחו תרגול

ביטויים אלגבריים בשברים

שברים באלגברה

קו השבר = חילוק

שתי דרכים לכתוב חילוק

סימן חילוק

קו שבר

שקילות מפתיעה: שברים ועשרוניים

שברים = מכפלות

הוכחה: למה 4x​=0.25x?

דוגמאות פתורות

עבודה עם שברים אלגבריים

הצבה בשבר פשוט

שבר + קבוע

מונה מורכב

בדיקת שקילות

פישוט שברים אלגבריים

חלוקת כל איבר במכנה

עוד דוגמאות לפישוט

תרגיל - פישוט שבר אלגברי

שאלות לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

טעויות נפוצות

הימנעו מטעויות!

סיכום

קו שבר = חילוק

פישוט

מכנה 0

שבר ועשרוני - אינטראקטיבי

העשרה - שברים בחיים

האם x/4 שווה ל-0.25x?