הכפלת המחלק

כשהמחלק הוא מכפלה - אפשר לחלק בשלבים

חלוקה לקבוצות בתוך קבוצות

יש 24 עוגיות. מחלקים ל-3 שולחנות, ובכל שולחן יושבים 2 ילדים. כמה עוגיות לכל ילד?

דרך אחת: סה"כ

3 \cdot 2 = 6

ילדים, ו-

24 \div 6 = 4

עוגיות לכל ילד.

דרך שנייה: כל שולחן מקבל

24 \div 3 = 8

, ואז כל ילד מקבל

8 \div 2 = 4

.

שתי הדרכים מגיעות לאותה תוצאה - זה הכלל שנלמד עכשיו!

הרעיון

חלוקה לקבוצות ואז חלוקה לתת-קבוצות

הכלל

אפשר לחלק פעמיים בנפרד במקום פעם אחת במכפלה

השימוש

כשהמחלק גדול - מפרקים לגורמים ומחלקים בשלבים

סיפור: חלוקה היררכית בצבא

בצבאות העתיקים, אנשי מפקדה חילקו חיילים לגדודים, כל גדוד לפלוגות, כל פלוגה לקבוצות. אם יש $240$ חיילים, ורוצים לחלק ל- $4$ גדודים וכל גדוד ל- $3$ פלוגות - אפשר לחשב $240 \div 12 = 20$ , אבל הרבה יותר קל: $(240 \div 4) \div 3 = 60 \div 3 = 20$ . המפקדים עשו זאת בלי לדעת שהם משתמשים ב"כלל הכפלת המחלק"!

הכפלת המחלק

כלל הכפלת המחלק

a \div (b \cdot c) = (a \div b) \div c

(1)

הכיוון ההפוך - איחוד שלבים

(a \div b) \div c = a \div (b \cdot c)

(2)

שני הכיוונים שימושיים: כיוון (1) עוזר לפרק חילוק קשה לשלבים, וכיוון (2) עוזר לאחד שני חילוקים לחישוב אחד מהיר.

טוען סימולציה...

דוגמה פתורה - חישוב מנטלי

24 ÷ (2·3)

24 \div (2 \cdot 3)

60 ÷ (2·5) - בחירת סדר נוח

60 \div (2 \cdot 5)

אינטואיציה: עוגיות ותת-קבוצות

למה הכלל עובד? בואו נראה זאת בתמונה.

24 עוגיות מחולקות ל-3 קופסאות, כל קופסה מחולקת ל-2 שקיות.

סה"כ יש $3 \cdot 2 = 6$ שקיות, וכל שקית מכילה $24 \div 6 = 4$ עוגיות.

אבל אפשר גם לחשוב כך: ראשית כל קופסה קיבלה $24 \div 3 = 8$ , ואז כל שקית קיבלה $8 \div 2 = 4$ .

התוצאה זהה - כל עוד מחלקים באותם גורמים של המחלק.

חלוקה בגורמים אחד-אחד נותנת תמיד את אותה תוצאה כמו חלוקה במכפלה.

מה אם הסדר שונה?

האם זה עובד בכל הסדר?

כן! $(a \div b) \div c = (a \div c) \div b$ - אפשר לחלק בגורמים בכל סדר.

אבל זהירות - זה שונה מ- $a \div (b \div c)$ :

$24 \div (6 \div 2) = 24 \div 3 = 8$

אבל $24 \div 6 \div 2 = 4 \div 2 = 2$

שימו לב: $24 \div (6 \div 2) \neq = (24 \div 6) \div 2$ !

הכלל עובד רק כשמחלקים במכפלה, לא כשהמחלק עצמו הוא חילוק.

חלוקה בשני גורמים - הסדר לא חשוב. אבל חלוקה בתוצאת-חלוקה זה חוק אחר (המודול הבא).

בחיים: כיתה מחולקת לקבוצות

כיצד משתמשים בכלל הזה בעולם האמיתי?

בכיתה יש $120$ תלמידים. המורה רוצה לחלק ל- $4$ קבוצות גדולות, וכל קבוצה מתחלקת ל- $3$ צוותי עבודה.

בחישוב אחד: $120 \div (4 \cdot 3) = 120 \div 12 = 10$ תלמידים לצוות.

בשלבים: $(120 \div 4) \div 3 = 30 \div 3 = 10$ - אותה תוצאה, אבל הרבה יותר קל לחשב!

המפקד של הגדוד, מנהל בית-ספר, מנהל מחסן - כולם משתמשים בזה.

חלוקה היררכית היא בדיוק הכלל הזה בפעולה.

תרגול מודרך

תרגיל 1

בסיסי

חשבו בשלבים:

36 \div (3 \cdot 2)

תרגיל 2

בינוני

חלקו בחישוב מנטלי עם הפירוק הנוח ביותר:

480 \div 16

תרגיל 3 - ביטוי אלגברי

מאתגר

פשטו:

x \div (2 \cdot 3)

תרגיל 4 - האם השוויון נכון?

מאתגר

תלמיד טוען: $a \div (b \cdot c) = a \div b \cdot c$ . האם הוא צודק? הוכיחו עם דוגמה מספרית.

תחנת אימון רב-שלבית

עכשיו עוברים לתרגול מהיר בכמה מצבים: השלמת צעד חסר, בחירת פירוק נוח, ובדיקה צעד-צעד. התחילו בתחנת ההשלמה, ואז עברו למסלול הצעד-צעד כדי לבדוק שהרעיון באמת התיישב.

טוען סימולציה...

הסוגריים חשובים!

הכלל הוא $a \div (b \cdot c)$ עם סוגריים. בלי סוגריים, $a \div b \cdot c$ נקרא משמאל לימין ומשמעותו $(a \div b) \cdot c$ - תוצאה שונה לגמרי!

$24 \div (3 \cdot 2) = 24 \div 6 = 4$
$24 \div 3 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$
סוגריים משנים הכל - תמיד תרשמו אותם בבירור!

שאלה לחשיבה

חשבו: האם $a \div (b \cdot c) = a \div (c \cdot b)$ ? מדוע?

כן! כי $b \cdot c = c \cdot b$ לפי חוק החילוף בכפל. לכן שני הביטויים שווים.

הכלל עובד כי חילוק הוא כפל בהופכי:

$a \div (b \cdot c) = a \cdot \frac{1}{b \cdot c} = a \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c} = (a \div b) \div c$

בשלב השני השתמשנו בכך ש- $\frac{1}{b \cdot c} = \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}$ - זה נובע ישירות מחוק הקיבוץ בכפל!

זאת הסיבה שאפשר לחלק בכל סדר שנרצה: $a \div b \div c = a \div c \div b$ , כי כפל ב- $\frac{1}{b}$ וב- $\frac{1}{c}$ הוא קומוטטיבי.

שאלה 1 מתוך 8

איזה חוק מצדיק: $a \div (b \times c) = (a \div b) \div c$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של הכפלת המחלק כבר מוכן.

פתחו תרגול

הכפלת המחלק

חלוקה לקבוצות בתוך קבוצות

סיפור: חלוקה היררכית בצבא

הכפלת המחלק

דוגמה פתורה - חישוב מנטלי

24 ÷ (2·3)

60 ÷ (2·5) - בחירת סדר נוח

אינטואיציה: עוגיות ותת-קבוצות

מה אם הסדר שונה?

בחיים: כיתה מחולקת לקבוצות

תרגול מודרך

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3 - ביטוי אלגברי

תרגיל 4 - האם השוויון נכון?

תחנת אימון רב-שלבית

הסוגריים חשובים!

שאלה לחשיבה

למה הכלל עובד? הסבר אלגברי

איזה חוק מצדיק: a÷(b×c)=(a÷b)÷c?

הכפלת המחלק

מעבר לדף התרגול של המודול

איזה חוק מצדיק: $a \div (b \times c) = (a \div b) \div c$ ?