הכפלת המחלק

כשהמחלק הוא מכפלה - אפשר לחלק בשלבים

חלוקה לקבוצות בתוך קבוצות

יש 24 עוגיות. מחלקים ל-3 שולחנות, ובכל שולחן יושבים 2 ילדים. כמה עוגיות לכל ילד?

דרך אחת: סה"כ

3 \cdot 2 = 6

ילדים, ו-

24 \div 6 = 4

עוגיות לכל ילד.

דרך שנייה: כל שולחן מקבל

24 \div 3 = 8

, ואז כל ילד מקבל

8 \div 2 = 4

.

שתי הדרכים מגיעות לאותה תוצאה - זה הכלל שנלמד עכשיו!

הרעיון

חלוקה לקבוצות ואז חלוקה לתת-קבוצות

הכלל

אפשר לחלק פעמיים בנפרד במקום פעם אחת במכפלה

השימוש

כשהמחלק גדול - מפרקים לגורמים ומחלקים בשלבים

סיפור: חלוקה היררכית בצבא

בצבאות העתיקים, אנשי מפקדה חילקו חיילים לגדודים, כל גדוד לפלוגות, כל פלוגה לקבוצות. אם יש $240$ חיילים, ורוצים לחלק ל- $4$ גדודים וכל גדוד ל- $3$ פלוגות - אפשר לחשב $240 \div 12 = 20$ , אבל הרבה יותר קל: $(240 \div 4) \div 3 = 60 \div 3 = 20$ . המפקדים עשו זאת בלי לדעת שהם משתמשים ב"כלל הכפלת המחלק"!

הכפלת המחלק

כלל הכפלת המחלק

a \div (b \cdot c) = (a \div b) \div c

(1)

הכיוון ההפוך - איחוד שלבים

(a \div b) \div c = a \div (b \cdot c)

(2)

שני הכיוונים שימושיים: כיוון (1) עוזר לפרק חילוק קשה לשלבים, וכיוון (2) עוזר לאחד שני חילוקים לחישוב אחד מהיר.

טוען סימולציה...

דוגמה פתורה - חישוב מנטלי

24 ÷ (2·3)

24 \div (2 \cdot 3)

60 ÷ (2·5) - בחירת סדר נוח

60 \div (2 \cdot 5)

אינטואיציה: עוגיות ותת-קבוצות

למה הכלל עובד? בואו נראה זאת בתמונה.

24 עוגיות מחולקות ל-3 קופסאות, כל קופסה מחולקת ל-2 שקיות.

סה"כ יש $3 \cdot 2 = 6$ שקיות, וכל שקית מכילה $24 \div 6 = 4$ עוגיות.

אבל אפשר גם לחשוב כך: ראשית כל קופסה קיבלה $24 \div 3 = 8$ , ואז כל שקית קיבלה $8 \div 2 = 4$ .

התוצאה זהה - כל עוד מחלקים באותם גורמים של המחלק.

חלוקה בגורמים אחד-אחד נותנת תמיד את אותה תוצאה כמו חלוקה במכפלה.

תמונה הממחישה את חילוק המחלק במכפלה בעזרת עוגיות שמתחלקות לקופסאות ושקיות — כשמחלקים במכפלה, אפשר לחלק בשלבים לפי כל גורם של המחלק ולקבל אותה תוצאה.

מה אם הסדר שונה?

האם זה עובד בכל הסדר?

כן! $(a \div b) \div c = (a \div c) \div b$ - אפשר לחלק בגורמים בכל סדר.

אבל זהירות - זה שונה מ- $a \div (b \div c)$ :

$24 \div (6 \div 2) = 24 \div 3 = 8$

אבל $24 \div 6 \div 2 = 4 \div 2 = 2$

שימו לב: $24 \div (6 \div 2) \neq = (24 \div 6) \div 2$ !

הכלל עובד רק כשמחלקים במכפלה, לא כשהמחלק עצמו הוא חילוק.

חלוקה בשני גורמים - הסדר לא חשוב. אבל חלוקה בתוצאת-חלוקה זה חוק אחר (המודול הבא).

בחיים: כיתה מחולקת לקבוצות

כיצד משתמשים בכלל הזה בעולם האמיתי?

בכיתה יש $120$ תלמידים. המורה רוצה לחלק ל- $4$ קבוצות גדולות, וכל קבוצה מתחלקת ל- $3$ צוותי עבודה.

בחישוב אחד: $120 \div (4 \cdot 3) = 120 \div 12 = 10$ תלמידים לצוות.

בשלבים: $(120 \div 4) \div 3 = 30 \div 3 = 10$ - אותה תוצאה, אבל הרבה יותר קל לחשב!

המפקד של הגדוד, מנהל בית-ספר, מנהל מחסן - כולם משתמשים בזה.

חלוקה היררכית היא בדיוק הכלל הזה בפעולה.

תרגול מודרך

תרגיל 1

בסיסי

חשבו בשלבים:

36 \div (3 \cdot 2)

תרגיל 2

בינוני

חלקו בחישוב מנטלי עם הפירוק הנוח ביותר:

480 \div 16

תרגיל 3 - ביטוי אלגברי

מאתגר

פשטו:

x \div (2 \cdot 3)

תרגיל 4 - האם השוויון נכון?

מאתגר

תלמיד טוען: $a \div (b \cdot c) = a \div b \cdot c$ . האם הוא צודק? הוכיחו עם דוגמה מספרית.

תחנת אימון רב-שלבית

עכשיו עוברים לתרגול מהיר בכמה מצבים: השלמת צעד חסר, בחירת פירוק נוח, ובדיקה צעד-צעד. התחילו בתחנת ההשלמה, ואז עברו למסלול הצעד-צעד כדי לבדוק שהרעיון באמת התיישב.

טוען סימולציה...

הסוגריים חשובים!

הכלל הוא $a \div (b \cdot c)$ עם סוגריים. בלי סוגריים, $a \div b \cdot c$ נקרא משמאל לימין ומשמעותו $(a \div b) \cdot c$ - תוצאה שונה לגמרי!

$24 \div (3 \cdot 2) = 24 \div 6 = 4$
$24 \div 3 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$
סוגריים משנים הכל - תמיד תרשמו אותם בבירור!

שאלה לחשיבה

חשבו: האם $a \div (b \cdot c) = a \div (c \cdot b)$ ? מדוע?

כן! כי $b \cdot c = c \cdot b$ לפי חוק החילוף בכפל. לכן שני הביטויים שווים.

הכלל עובד כי חילוק הוא כפל בהופכי:

$a \div (b \cdot c) = a \cdot \frac{1}{b \cdot c} = a \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c} = (a \div b) \div c$

בשלב השני השתמשנו בכך ש- $\frac{1}{b \cdot c} = \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}$ - זה נובע ישירות מחוק הקיבוץ בכפל!

זאת הסיבה שאפשר לחלק בכל סדר שנרצה: $a \div b \div c = a \div c \div b$ , כי כפל ב- $\frac{1}{b}$ וב- $\frac{1}{c}$ הוא קומוטטיבי.

שאלה 1 מתוך 8

איזה חוק מצדיק: $a \div (b \times c) = (a \div b) \div c$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקחיסור של סכום והפרש בפרקחילוק המחלק קשורכינוס איברים דומים - חיסור קשורריבועים מושלמים כיתה ח׳הוצאת גורם משותף

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של הכפלת המחלק כבר מוכן.

פתחו תרגול

הכפלת המחלק

חלוקה לקבוצות בתוך קבוצות

סיפור: חלוקה היררכית בצבא

הכפלת המחלק

דוגמה פתורה - חישוב מנטלי

24 ÷ (2·3)

60 ÷ (2·5) - בחירת סדר נוח

אינטואיציה: עוגיות ותת-קבוצות

מה אם הסדר שונה?

בחיים: כיתה מחולקת לקבוצות

תרגול מודרך

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3 - ביטוי אלגברי

תרגיל 4 - האם השוויון נכון?

תחנת אימון רב-שלבית

הסוגריים חשובים!

שאלה לחשיבה

למה הכלל עובד? הסבר אלגברי

איזה חוק מצדיק: a÷(b×c)=(a÷b)÷c?

הכפלת המחלק

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

מעבר לדף התרגול של המודול

איזה חוק מצדיק: $a \div (b \times c) = (a \div b) \div c$ ?