חילוק מספרים מכוונים

אותם כללים כמו בכפל - פשוט הפעולה ההפוכה

חידת פתיחה

חברת כלי-הרכב הפסידה $600$ שקלים ב- $4$ חודשים. מה ההפסד הממוצע בחודש? אתם יודעים שצריך לחלק, אבל איך מחלקים $מספרשלילי$ ? וחשוב מזה: מה יוצא כשמחלקים $שליליבשלילי$ ? דווקא דבר מפתיע. בואו נגלה.

חילוק = הפעולה ההפוכה של כפל

יש חדשות טובות: כללי הסימנים בחילוק הם בדיוק אותם כללים כמו בכפל! אם זכרתם את כללי הכפל, אתם כבר יודעים את כללי החילוק.

במודול הזה נלמד את כללי החילוק, נבין למה הם עובדים, ונראה את הקשר ההדוק בין כפל לחילוק.

אותם כללי סימנים

אותו סימן = חיובי, שונים = שלילי

הקשר לכפל

חילוק הוא הפעולה ההפוכה

אי-חילוק באפס

לעולם לא מחלקים באפס!

כללי הסימנים בחילוק

טבלת סימנים

\frac{+}{+} = +, \frac{-}{-} = +, \frac{+}{-} = -, \frac{-}{+} = -

כללי הסימנים בחילוק זהים לכללי הכפל:
- אותו סימן = חיובי: $(+) \div (+) = (+)$ , $(-) \div (-) = (+)$
- סימנים שונים = שלילי: $(+) \div (-) = (-)$ , $(-) \div (+) = (-)$

(+) ÷ (+) = (+)

$10 \div 2 = 5$
אותו סימן ← חיובי

(-) ÷ (-) = (+)

$(- 10) \div (- 2) = 5$
אותו סימן ← חיובי

(+) ÷ (-) = (-)

$10 \div (- 2) = - 5$
סימנים שונים ← שלילי

(-) ÷ (+) = (-)

$(- 10) \div 2 = - 5$
סימנים שונים ← שלילי

למה זה עובד? הקשר עם כפל

כפל וחילוק הם פעולות הפוכות (כמו חיבור וחיסור). אם אתם יודעים עובדת כפל אחת, אתם באמת יודעים שתי עובדות חילוק:

מכפל לחילוק - ובחזרה

אם $a \times b = c$ , אז:
$- c \div a = b$
$- c \div b = a$

דוגמה:
$(- 3) \times 4 = - 12$
אז: $(- 12) \div (- 3) = 4$
וגם: $(- 12) \div 4 = - 3$

כל משולש עובדות בנוי מעובדת כפל אחת ושתי עובדות חילוק.

שאלה לחשיבה

איך אפשר להסיק שהחוק $(-) \div (-) = (+)$ חייב להיות נכון?

בעזרת הקשר לכפל! נניח $(- 6) \div (- 2) = x$ . לפי הגדרת החילוק, זה אומר $x \times (- 2) = - 6$ . איזה $x$ נותן כשכופלים ב- $- 2$ את $- 6$ ? רק $x = 3$ (חיובי), כי $3 \times (- 2) = - 6$ . הנה הוכחה שחילוק שלילי בשלילי חייב להיות חיובי.

המתמטיקה לא בחרה שרירותית בחוקים - הם נובעים מההיגיון של פעולות הפוכות.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: חילוק עם מספרים שליליים

שלב 1 מתוך 3

(- 45) \div 9 = ?

זיהוי הסימנים: שלילי חלקי חיובי ← תוצאה שלילית.

סימן: (-) \div (+) = (-)

דוגמה 2: שלילי חלקי שלילי

שלב 1 מתוך 2

(- 56) \div (- 7) = ?

שני הסימנים שליליים - התוצאה חיובית.

(-) \div (-) = (+)

נסו בעצמכם - מחילוק לכפל

בחרו חילוק ובדקו איך אותו דפוס סימנים שכבר הכרתם בכפל חוזר כאן שוב. כך רואים שחילוק באמת נשען על כפל.

טוען סימולציה...

תרגול מהיר

חיובי ÷ חיובי

$15 \div 3 = ?$
פתרון: אותו סימן ← חיובי
$15 \div 3 = 5$

שלילי ÷ שלילי

$(- 15) \div (- 3) = ?$
פתרון: אותו סימן ← חיובי
$15 \div 3 = 5$

חיובי ÷ שלילי

$15 \div (- 3) = ?$
פתרון: סימנים שונים ← שלילי
$15 \div 3 = 5 \Rightarrow - 5$

שלילי ÷ חיובי

$(- 15) \div 3 = ?$
פתרון: סימנים שונים ← שלילי
$15 \div 3 = 5 \Rightarrow - 5$

אפס במונה

$0 \div (- 5) = ?$
פתרון: אפס חלקי כל מספר (שאינו 0) = 0

חלוקה שאינה שלמה

$(- 7) \div 2 = ?$
פתרון: סימנים שונים ← שלילי
$7 \div 2 = 3.5 \Rightarrow - 3.5$

מהחיים: בעיות אמיתיות

מספרים מכוונים בעולם שלנו

הפסד ממוצע לחברה

חברה הפסידה $600$ שקלים ב- $4$ חודשים. הפסד ממוצע לחודש?
פתרון: הפסד = סכום שלילי. $(- 600) \div 4 = - 150$
ההפסד הממוצע: 150 שקלים לחודש (שלילי = חוב).

ירידת טמפרטורה קבועה

בלילה על הר החרמון הטמפרטורה ירדה ב- $1 2^{\circ} C$ במהלך $6$ שעות (באופן אחיד). מה שיעור הירידה לשעה?
פתרון: שינוי = $- 1 2^{\circ}$ . $(- 12) \div 6 = - 2$
הטמפרטורה ירדה ב-2 מעלות לשעה.

חלוקת חוב

ארבעה חברים חולקים חוב של $240$ שקלים בחלקים שווים. כמה חייב כל אחד?
פתרון: $(- 240) \div 4 = - 60$
כל חבר חייב 60 שקלים.

נסיעה אל ים המלח

יוסי נמצא בגובה של $300$ מטר מעל פני הים ורוצה להגיע לים המלח שבגובה $- 430$ מטר. השינוי בגובה הוא $- 730$ מטר (ירידה). אם הוא נוסע $5$ שעות, מה השינוי הממוצע לשעה?
פתרון: $- 730 \div 5 = - 146$
ירידה ממוצעת של 146 מטרים לשעה.

אי-חילוק באפס! (קריטי)

למה אסור לחלק באפס?

חילוק באפס אינו מוגדר - לא קיימת תשובה הגיונית. נסו לחשוב: אם $5 \div 0 = x$ , אז לפי הגדרת החילוק: $x \times 0 = 5$ . אבל כל מספר כפול אפס הוא אפס - אז אי אפשר לקבל 5. אין $x$ שעובד.

$5 \div 0$ - לא מוגדר (אין תשובה)
$(- 5) \div 0$ - לא מוגדר (גם לשליליים)
$0 \div 0$ - לא מוגדר (במיוחד!)
$0 \div 5 = 0$ - זה כן מוגדר, ושווה אפס

הבחנה חשובה: אפס במונה מול אפס במכנה

אפס במונה = אפס

$0 \div (- 5) = 0$
$0 \div 7 = 0$
$0 \div 100 = 0$

כי: $0 \times כלשהו = 0$

דוגמה: זה מוגדר - תשובה = 0

אפס במכנה = לא מוגדר

$(- 5) \div 0 = ?$
$7 \div 0 = ?$

אין תשובה. במחשבון תקבלו שגיאה.

דוגמה: זה לא מוגדר - אסור!

אפשר לחלק אפס בכל מספר (תוצאה אפס). אי אפשר לחלק כל מספר באפס.

טעויות נפוצות

המלכודות הנפוצות בחילוק מכוונים

שלוש הטעויות שתלמידים עושים הכי הרבה בחילוק מספרים שליליים:

שוכחים את הסימן: מחשבים רק את הערכים המוחלטים. פתרון: קודם קובעים את הסימן, אז מחלקים.
חושבים ש- $(-) \div (-)$ = שלילי. זה חיובי! כמו בכפל.
מחלקים באפס ולא שמים לב. תמיד בדקו שהמכנה אינו אפס.

שאלה לחשיבה

אם $(- 36) \div 9 = - 4$ , מה זה אומר על $(- 4) \times 9$ ?

מהקשר בין כפל וחילוק: אם $(- 36) \div 9 = - 4$ , אז $(- 4) \times 9 = - 36$ . ואכן: סימנים שונים ← שלילי, $4 \times 9 = 36$ , אז $(- 4) \times 9 = - 36$ .

כפל וחילוק הם פעולות הפוכות - תמיד אפשר לעבור מאחד לשני.

טבלת סימנים - חילוק

÷	חיובי (+)	שלילי (-)
חיובי (+)	(+) חיובי	(-) שלילי
שלילי (-)	(-) שלילי	(+) חיובי

* זהה לחלוטין לטבלת הכפל! אם זכרתם את אחת - זכרתם את השנייה.

חילוק קשור לשברים - הרי $a \div b$ זה בדיוק $\frac{a}{b}$ . לכן כל הדרכים הבאות זהות:

\frac{- 6}{3} = \frac{6}{- 3} = - \frac{6}{3} = - 2

בשבר, הסימן המינוס יכול "לחיות" במונה, במכנה, או לפני השבר - והתוצאה זהה. זה מאפשר להעביר סימנים כדי לפשט ביטויים. בתיכון תראו שזו טכניקה קריטית.

עוד סודות: אי אפשר לחלק באפס בשום מערכת מתמטית, גם לא במתמטיקה מתקדמת. זה לא "חסר" - זה פשוט לא מוגדר. אם ננסה להגדיר $\frac{1}{0}$ כמשהו, כל חוקי המתמטיקה ייפלו.

שאלה 1 מתוך 7

מהו $20 \div (- 5)$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חילוק מספרים מכוונים כבר מוכן.

פתחו תרגול

חילוק מספרים מכוונים

חידת פתיחה

חילוק = הפעולה ההפוכה של כפל

כללי הסימנים בחילוק

(+) ÷ (+) = (+)

(-) ÷ (-) = (+)

(+) ÷ (-) = (-)

(-) ÷ (+) = (-)

למה זה עובד? הקשר עם כפל

מכפל לחילוק - ובחזרה

שאלה לחשיבה

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: חילוק עם מספרים שליליים

דוגמה 2: שלילי חלקי שלילי

נסו בעצמכם - מחילוק לכפל

תרגול מהיר

חיובי ÷ חיובי

שלילי ÷ שלילי

חיובי ÷ שלילי

שלילי ÷ חיובי

אפס במונה

חלוקה שאינה שלמה

מהחיים: בעיות אמיתיות

מספרים מכוונים בעולם שלנו

הפסד ממוצע לחברה

ירידת טמפרטורה קבועה

חלוקת חוב

נסיעה אל ים המלח

אי-חילוק באפס! (קריטי)

למה אסור לחלק באפס?

הבחנה חשובה: אפס במונה מול אפס במכנה

אפס במונה = אפס

אפס במכנה = לא מוגדר

טעויות נפוצות

המלכודות הנפוצות בחילוק מכוונים

שאלה לחשיבה

טבלת סימנים - חילוק

חילוק כשבר - גמישות כתיבה

מהו 20÷(−5)?