שטח משולש ישר-זווית

מגלים שכל משולש ישר-זווית הוא בדיוק חצי מלבן

מהמלבן למשולש

אנחנו יודעים לחשב שטח מלבן. עכשיו נגלה דבר מדהים: כל משולש ישר-זווית הוא בדיוק חצי מלבן! הגילוי הזה ייתן לנו את הנוסחה הראשונה לשטח משולש.

קחו דף ושרטטו מלבן. עכשיו חתכו אותו באלכסון. מה קיבלתם?

התגלית

משולש ישר-זווית = חצי מלבן

הנוסחה

שטח =

\frac{ניצב \times ניצב}{2}

תרגול

דוגמאות ובעיות מהחיים

הקשר המפתיע למלבן

דמיינו מלבן עם אורך a ורוחב b. אם חותכים את המלבן באלכסון, מקבלים שני משולשים ישרי-זווית זהים לחלוטין.

המשמעות: כל משולש ישר-זווית הוא בדיוק מחצית של מלבן שאורכו שווה לניצב האחד ורוחבו שווה לניצב השני.

מהמלבן לנוסחה

בואו נבנה את הנוסחה צעד אחר צעד:

שלב 1: מלבן עם צלעות $a$ ו- $b$ . שטחו = $a \times b$ .

שלב 2: חותכים את המלבן באלכסון. מקבלים שני משולשים ישרי-זווית זהים.

שלב 3: כל משולש = חצי מהמלבן.

שלב 4: שטח משולש = שטח מלבן / 2 = $\frac{a \times b}{2}$ .

$S_{△} = \frac{a \times b}{2}$

שימו לב: אנחנו משתמשים בשני הניצבים (הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה), לא ביתר!

מושגי יסוד

לפני שמתרגלים, בואו נוודא שאנחנו מכירים את חלקי המשולש:

חלקי משולש ישר-זווית

ניצב ראשון

אחת משתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה. משתתף בנוסחת השטח.

ניצב שני

הצלע השנייה שיוצרת את הזווית הישרה. גם הוא משתתף בנוסחה.

יתר

הצלע שמול הזווית הישרה, הצלע הארוכה ביותר. לא משתתפת בנוסחה!

טעות נפוצה

אל תשתמשו ביתר בנוסחה! הנוסחה דורשת רק את שני הניצבים - הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה.

מזהים את הזווית הישרה (90 מעלות)
מוצאים את שתי הצלעות שיוצרות אותה - אלו הניצבים
מכפילים ניצב בניצב ומחלקים ב-2

דוגמאות פתורות

בואו נתרגל

משולש פשוט

ניצבים: 6 ס"מ ו-8 ס"מ
שטח = $\frac{6 \times 8}{2} = \frac{48}{2} = 24$ סמ"ר

משולש שווה-שוקיים ישר-זווית

כל ניצב = 5 ס"מ
שטח = $\frac{5 \times 5}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ סמ"ר

בעיה מעשית - שדה

שדה משולש ישר-זווית
ניצבים: 20 מ' ו-15 מ'
שטח = $\frac{20 \times 15}{2} = 150$ מ"ר

תרגיל - מציאת ניצב חסר

בינוני

שטח של משולש ישר-זווית הוא $30$ סמ"ר. אחד הניצבים הוא $12$ ס"מ. מהו אורך הניצב השני?

S = 30 סמ"ר, a = 12 ס"מ, b = ?

השוואת שטחים - תובנה מעניינת

שאלה לחשיבה

שני משולשים ישרי-זווית: האחד עם ניצבים 4 ו-6 ס"מ, השני עם ניצבים 3 ו-8 ס"מ. לאיזה שטח גדול יותר?

משולש 1: שטח = $\frac{4 \times 6}{2} = 12$ סמ"ר.
משולש 2: שטח = $\frac{3 \times 8}{2} = 12$ סמ"ר.
הפתעה - שטחים שווים! משולשים שונים לגמרי יכולים להיות בעלי שטח זהה.

זה קורה כי $4 \times 6 = 3 \times 8 = 24$ . מכפלת הניצבים זהה, ולכן גם השטח (אחרי חלוקה ב-2).

מהמלבן למשולש - סיכום ויזואלי

הקשר בין מלבן למשולש ישר-זווית

מלבן

4 זוויות ישרות, צלעות נגדיות שוות.

דוגמה: שטח = אורך $\times$ רוחב
לדוגמה: $6 \times 8 = 48$ סמ"ר

משולש ישר-זווית

חצי מהמלבן! זווית ישרה אחת, שני ניצבים ויתר.

דוגמה: שטח = $\frac{ניצב \times ניצב}{2}$
לדוגמה: $\frac{6 \times 8}{2} = 24$ סמ"ר

המשולש הוא בדיוק חצי מהמלבן - וזה הבסיס לכל נוסחאות השטח שנלמד

אתגר

שאלה לחשיבה

משולש ישר-זווית שהניצבים שלו 3 ס"מ ו-4 ס"מ. אם מכפילים את שניהם פי 2, איך משתנה השטח?

השטח המקורי: $\frac{3 \times 4}{2} = 6$ סמ"ר.
כשמכפילים כל ניצב פי 2, הניצבים החדשים הם 6 ו-8. השטח החדש: $\frac{6 \times 8}{2} = 24$ סמ"ר.
השטח גדל פי $\frac{24}{6} = 4$ .

כשמכפילים את שתי הצלעות פי 2, השטח גדל פי 4. זה הגיוני - במכפלה $a \times b$ , הכפלה של כל גורם פי 2 נותנת מכפלה גדולה פי 4.

קחו דף נייר מלבני. שרטטו אלכסון וגזרו לאורכו. קיבלתם שני משולשים ישרי-זווית זהים!

עכשיו מדדו את הניצבים (אורך ורוחב הדף) וחשבו את השטח.
נסו: שטח המלבן המקורי = אורך $\times$ רוחב.
שטח כל משולש = $\frac{אורך \times רוחב}{2}$ .

זה בדיוק חצי! הנוסחה עובדת.

חצי מלבן בפעולה

שנו את הניצבים ובדקו שכל משולש ישר-זווית יושב בתוך מלבן מתאים. השטח של המשולש נשאר תמיד חצי מהמלבן שנבנה מאותם שני ניצבים.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 5

משולש ישר-זווית שווה-שוקיים עם כל ניצב 4 ס"מ. מהו השטח?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שטח משולש ישר-זווית כבר מוכן.

פתחו תרגול

שטח משולש ישר-זווית

מהמלבן למשולש

הקשר המפתיע למלבן

מהמלבן לנוסחה

מושגי יסוד

חלקי משולש ישר-זווית

ניצב ראשון

ניצב שני

יתר

טעות נפוצה

דוגמאות פתורות

בואו נתרגל

משולש פשוט

משולש שווה-שוקיים ישר-זווית

בעיה מעשית - שדה

תרגיל - מציאת ניצב חסר

השוואת שטחים - תובנה מעניינת

שאלה לחשיבה

מהמלבן למשולש - סיכום ויזואלי

הקשר בין מלבן למשולש ישר-זווית

מלבן

משולש ישר-זווית

אתגר

שאלה לחשיבה

פעילות מעשית - גזירה ופיתוח

חצי מלבן בפעולה

משולש ישר-זווית שווה-שוקיים עם כל ניצב 4 ס"מ. מהו השטח?

שטח משולש ישר-זווית

מעבר לדף התרגול של המודול