קצב השתנות קבוע

בודקים אם כל צעד שווה בקלט יוצר אותו שינוי בפלט

פותחים את הרעיון

קצב השתנות קבוע אומר שבכל פעם שהקלט גדל באותו צעד, הפלט משתנה באותה כמות. זו הדרך הראשונה לזהות קשר קווי לפני שכותבים נוסחה.

לחשב שינוי ב-

y

עבור צעדי

x

שווים.

להבחין בין קשר קווי לבין קשר שהקצב שלו משתנה.

לפרש את הקצב ביחידות של הסיפור.

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

מה באמת קבוע?

לא מספיק לראות שהערכים עולים או יורדים. צריך לבדוק אם הם משתנים בקצב אחיד ביחס לקלט.

כאשר $Δ x$ קבוע וגם $Δ y$ קבוע, המנה $\frac{Δ y}{Δ x}$ קבועה. במקרה כזה נקבל גרף ישר ונוכל לתאר את הקשר בעזרת פונקציה קווית.

$קצב השתנות = \frac{Δ y}{Δ x}$

אם הצעדים ב- $x$ אינם שווים, קודם מחשבים את $Δ x$ ; הקצב אינו תמיד רק ההפרש ב- $y$ .

קצב השתנות

קצב = \frac{Δ y}{Δ x}

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לחשב שינוי ב- $y$ עבור צעדי $x$ שווים.

$math/002-calculator$

חישוב

להבחין בין קשר קווי לבין קשר שהקצב שלו משתנה.

$math/020-math book$

פירוש

לפרש את הקצב ביחידות של הסיפור.

מסלול עבודה מלא

מיישרים צעדים

בודקים שההפרש ב- $x$ קבוע.

אם הצעדים אינם שווים, מחשבים קצב בעזרת מנה ולא לפי הפרש יחיד.

$math/002-calculator$

מחלקים שינויים

מחשבים $Δ y$ ו- $Δ x$ .

הקצב הוא $\frac{Δ y}{Δ x}$ , לא רק ההפרש בטור $y$ .

$math/026-reason$

מפרשים

כותבים יחידות: שקלים לפריט, מטרים לשנייה או נקודות למשחק.

בודקים שהקצב מתאים לסיפור ולכיוון הגרף.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

טבלת הפרשים לקשר קווי

$x$	$y$	$Δ x$	$Δ y$
$0$	$8$
$1$	$11$	$+ 1$	$+ 3$
$2$	$14$	$+ 1$	$+ 3$
$3$	$17$	$+ 1$	$+ 3$
$4$	$20$	$+ 1$	$+ 3$

* הפרשי $y$ זהים עבור צעדי $x$ זהים, לכן הקצב הוא $3$ .

הנקודות יושבות על ישר אחד

$math/030-equation$ דוגמאות שמחברות את הרעיון

חיסכון שבועי

כל שבוע מוסיפים $20$ שקלים, ולכן הקצב הוא $20$ שקלים לשבוע.

מילוי מיכל

אם בכל דקה נוספים $4$ ליטרים, הגרף הוא ישר עולה.

חום תנור

אם התוספת בכל דקה משתנה, הקשר אינו קווי גם אם המספרים עולים.

מחיר לפי כרטיסים

מחיר כולל בלי תשלום קבוע גדל בקצב קבוע לפי מספר הכרטיסים.

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - בודקים טבלה עם צעדים שווים

הטבלה כוללת את הנקודות

(0, 7), (1, 11), (2, 15), (3, 19)

. האם הקצב קבוע ומה ערכו?

דוגמה נוספת - צעדי x לא שווים

בטבלה מופיעות הנקודות

(1, 10)

ו-

(4, 22)

. הקשר קווי. מצאו את הקצב וחזו את

y

כאשר

x = 7

$math/027-notepad$ מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגול - צעדי $x$ אינם תמיד 1

בינוני

מצאו את קצב השינוי עבור הנקודות $(0, 5), (2, 11), (4, 17), (6, 23)$ .

\frac{Δ y}{Δ x}

תרגול - מאתרים קשר שאינו קווי

בינוני

בטבלה $(0, 2), (1, 5), (2, 10), (3, 17)$ . האם הקצב קבוע?

Δ y : 3, 5, 7

תרגול אתגר - בודקים אם הקצב באמת קבוע

מאתגר

בטבלה מופיעות הנקודות $(0, 5), (2, 11), (5, 20)$ . האם הקשר יכול להיות קווי? נמקו בעזרת קצב.

\frac{Δ y}{Δ x}

למה הטעות הזאת קורית?

העין נמשכת לטור הפלט, ולכן קל לחשוב שהפרש גדול יותר תמיד אומר קצב גדול יותר. אבל קצב שואל מה קורה לכל יחידת קלט.

הדרך המפתה: משווים רק $Δ y$ ומחליטים לפי ההפרש הגדול יותר.
הדרך הבטוחה: מחלקים $Δ y$ ב- $Δ x$ ומשווים מנה למנה.
אם הצעד ב- $x$ השתנה, גם שיטת הבדיקה חייבת להשתנות.

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

$math/002-calculator$ מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

$math/026-reason$ איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

בדיקת סיום לפני תשובה

שאלו תמיד: מהו צעד הקלט? מהו שינוי הפלט? רק אז אפשר לומר מהו הקצב.

בדקו אם התוצאה מתאימה לסימן או לכיוון הגרף.
בדקו יחידות ופירוש מילולי.
הציבו ערך אחד כדי לוודא שהנוסחה או התחום עובדים.

שאלה לחשיבה

מדוע לא מספיק לבדוק שהערכים בטבלה רק עולים?

כי גם קשר לא קווי יכול לעלות. בפונקציה קווית צריך שהעלייה תהיה באותו קצב עבור צעדי קלט שווים. אם ההפרשים הם $3, 5, 7$ , הערכים עולים אבל הקצב משתנה.

שאלה לחשיבה

מה המשמעות של קצב $- 2$ בסיפור מציאותי?

קצב שלילי אומר שהפלט יורד בכל צעד של הקלט. למשל, אם במיכל יש פחות $2$ ליטרים בכל דקה, השיפוע הוא $- 2$ ליטרים לדקה.

$math/026-reason$ בדיקת מוכנות לפני החידון

לפני שעונים, עצרו לרגע ובדקו שהשיטה, הסימן והפירוש המילולי מתאימים לנתונים.

אני יודע לחשב קצב גם כאשר צעדי $x$ אינם שווים.
אני מפרש קצב בעזרת יחידות ולא משאיר אותו כמספר ריק.
אני בודק קשר קווי בעזרת כמה קטעים בטבלה או בגרף.

מתי קצב נראה קבוע ובאמת איננו

פונקציה קווית מאופיינת בקצב קבוע, אבל לא כל פונקציה שעולה היא קווית. בחלק זה נשווה בין שלוש טבלאות שנראות דומות, ונבדוק איזו מהן באמת מציגה קצב קבוע.

שלוש טבלאות, רק אחת קווית

$x$	טבלה א - $y$	טבלה ב - $y$	טבלה ג - $y$
1	3	1	5
2	5	4	8
3	7	9	11
4	9	16	14
5	11	25	17

* טבלה א: הפרשים $2, 2, 2, 2$ - קווית. טבלה ב: הפרשים $3, 5, 7, 9$ - לא קווית (פונקציה ריבועית). טבלה ג: הפרשים $3, 3, 3, 3$ - קווית.

איך מבחינים בין קווי לבין ריבועי?

בפונקציה קווית ההפרשים בין ערכי $y$ סמוכים קבועים. בפונקציה ריבועית כמו $y = x^{2}$ , ההפרשים עצמם גדלים בקצב קבוע - מה שנקרא הפרשים שניים.

טבלה א: הפרשים אחידים $2 -$ קווית.
טבלה ב: הפרשים $3, 5, 7, 9$ - לא קבועים, ההפרש השני הוא $2$ בכל פעם.
טבלה ג: הפרשים אחידים $3 -$ קווית.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 18

איזה גרף מתאים לקצב קבוע?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של קצב השתנות קבוע כבר מוכן.

פתחו תרגול

קצב השתנות קבוע

פותחים את הרעיון

הגדרה ומשמעות

מה באמת קבוע?

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

חישוב

פירוש

מסלול עבודה מלא

מיישרים צעדים

מחלקים שינויים

מפרשים

ייצוגים ודוגמאות

טבלת הפרשים לקשר קווי

דוגמאות שמחברות את הרעיון

חיסכון שבועי

מילוי מיכל

חום תנור

מחיר לפי כרטיסים

דוגמה מודרכת

דוגמה מודרכת - בודקים טבלה עם צעדים שווים

דוגמה נוספת - צעדי x לא שווים

מתאמנים בהדרגה

תרגול - צעדי x אינם תמיד 1

תרגול - מאתרים קשר שאינו קווי

תרגול אתגר - בודקים אם הקצב באמת קבוע

למה הטעות הזאת קורית?

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מה הפעולה?

איך בודקים?

טעויות נפוצות

בדיקת סיום לפני תשובה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

בדיקת מוכנות לפני החידון

מתי קצב נראה קבוע ובאמת איננו

שלוש טבלאות, רק אחת קווית

איך מבחינים בין קווי לבין ריבועי?

איזה גרף מתאים לקצב קבוע?