פתרון אלגברי וגרפי של אי-שוויונות

פותרים, מסמנים ובודקים את כיוון הסימן

פותחים את הרעיון

פותרים אי-שוויון כמעט כמו משוואה, אבל יש כלל אחד שחייבים לשמור: בכפל או חילוק במספר שלילי כיוון הסימן מתהפך.

לפתור אי-שוויון קווי באלגברה.

לייצג פתרון על ציר מספרים.

לקשר פתרון לגרף של פונקציה קווית.

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

הכלל שמחליף כיוון

פעולות זהות על שני אגפים שומרות על אי-שוויון, חוץ מפעולה אחת רגישה.

כאשר כופלים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי, סדר המספרים מתהפך. למשל $6 > - 2$ , אבל אחרי כפל ב- $- 1$ מקבלים $- 6 < 2$ .

$- 2 x < 6 ולכן x > - 3$

אחרי פתרון, הציבו מספר מהתחום ומספר מחוץ לתחום כדי לבדוק.

חילוק במספר שלילי מחליף סימן

- 2 x < 6 ולכן x > - 3

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לפתור אי-שוויון קווי באלגברה.

$math/002-calculator$

חישוב

לייצג פתרון על ציר מספרים.

$math/020-math book$

פירוש

לקשר פתרון לגרף של פונקציה קווית.

$math/046-parentheses$ מסלול עבודה מלא

פותרים כמו משוואה

מחברים ומחסרים בשני האגפים.

בודקים שכל פעולה שקולה.

$math/002-calculator$

שומרים על הסימן

כפל או חילוק במספר חיובי לא משנה כיוון.

כפל או חילוק במספר שלילי הופך כיוון.

$math/026-reason$

בודקים בתחום

מציבים מספר שמקיים את התחום.

מציבים מספר מחוץ לתחום כדי לוודא שהגבול הגיוני.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

שלבי פתרון ובדיקה

שלב	פעולה	דוגמה
1	מבודדים איבר עם $x$	$2 x - 6 > 0$
2	מעבירים אגפים	$2 x > 6$
3	מחלקים	$x > 3$
4	מסמנים ובודקים	$4$ מתאים, $2$ לא מתאים

* אם בשלב 3 מחלקים במספר שלילי, הופכים את הסימן.

תמונה הממחישה פתרון אי-שוויון קווי כתחום על ציר מספרים וכאזור חיובי בגרף — פתרון אי-שוויון קווי הוא תחום ערכים, ואפשר לראות אותו גם על ציר מספרים וגם בגרף הפונקציה.

הפתרון $x > 3$

התחום שבו $2 x - 6 > 0$

$math/030-equation$ דוגמאות שמחברות את הרעיון

מספר חיובי

חילוק ב- $2$ אינו משנה את כיוון הסימן.

מספר שלילי

חילוק ב- $- 3$ מחליף את כיוון הסימן.

בדיקה

מציבים מספר מתוך התחום כדי לוודא.

גרף

חיוביות ושליליות נקראות לפי מיקום מעל או מתחת לציר $x$ .

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - פתרון חיוביות

פתרו

2 x - 6 > 0

דוגמה נוספת - היפוך סימן במספר שלילי

פתרו את אי-השוויון

- 3 x + 6 \geq 12

$math/027-notepad$ מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגול - היפוך סימן

בינוני

פתרו $- 3 x + 6 \geq 0$ .

- 3 x + 6 \geq 0

תרגול - פתרון גרפי

מאתגר

עבור $f (x) = - x + 5$ , מצאו מתי $f (x) < 0$ .

- x + 5 < 0

תרגול אתגר - אי-שוויון עם שני צעדים

מאתגר

פתרו את $4 - 2 x < 10$ וסמנו את התחום במילים.

4 - 2 x < 10

למה הטעות הזאת קורית?

הכללים של משוואות כמעט עובדים גם כאן, ולכן קל לשכוח את החריג היחיד והחשוב: מספר שלילי הופך סדר.

הדרך המפתה: לחלק במספר שלילי ולהשאיר את אותו כיוון.
הדרך הבטוחה: ברגע שמחלקים או מכפילים במספר שלילי, הופכים $<$ ל- $>$ ולהפך.
אחרי הפתרון מציבים מספר פשוט מהתחום. אם הוא לא עובד, כנראה שהסימן התהפך לא נכון.

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

$math/002-calculator$ מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

$math/026-reason$ איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

בדיקת סיום לפני תשובה

כתבו ליד כל חילוק: חיובי - הסימן נשאר; שלילי - הסימן מתהפך.

בדקו אם התוצאה מתאימה לסימן או לכיוון הגרף.
בדקו יחידות ופירוש מילולי.
הציבו ערך אחד כדי לוודא שהנוסחה או התחום עובדים.

שאלה לחשיבה

למה כפל במספר שלילי הופך את הסימן?

כי כפל במספר שלילי משנה את סדר המספרים על ציר המספרים. לדוגמה $2 < 5$ , אבל אחרי כפל ב- $- 1$ מקבלים $- 2 > - 5$ . לכן חייבים להפוך את הסימן.

שאלה לחשיבה

איך גרף עוזר לבדוק פתרון אי-שוויון?

הגרף מראה איפה ערכי $y$ מעל או מתחת לציר $x$ . נקודת האפס היא גבול התחום, והצד המתאים נקבע לפי סימן הפונקציה.

$math/026-reason$ בדיקת מוכנות לפני החידון

לפני שעונים, עצרו לרגע ובדקו שהשיטה, הסימן והפירוש המילולי מתאימים לנתונים.

אני יודע לפתור אי-שוויון ולכתוב תחום, לא רק גבול.
אני הופך סימן בכפל או חילוק במספר שלילי.
אני בודק פתרון על ידי הצבת מספר מהתחום.

כללי הפעולות באי-שוויונות

פתרון אי-שוויון דומה לפתרון משוואה, אבל עם כלל אחד קריטי שונה - כפל או חילוק במספר שלילי הופכים את כיוון האי-שוויון. הטבלה הבאה מראה את כל הפעולות וההשפעה שלהן.

ארבע פעולות, שתי תוצאות אפשריות

פעולה	האם הסימן נשמר?	דוגמה לפני	דוגמה אחרי
חיבור או חיסור של מספר משני האגפים	כן	$x + 3 < 7$	$x < 4$
כפל או חילוק במספר חיובי	כן	$2 x > 10$	$x > 5$
כפל או חילוק במספר שלילי	לא, הסימן מתהפך	$- 3 x \leq 12$	$x \geq - 4$
העברה בין אגפים (חיבור/חיסור)	כן	$5 x - 2 > 3$	$5 x > 5$

* בכל פעולה שמכפילים או מחלקים במספר שלילי - הסימן הופך את כיוונו.

ארבע פעולות, ארבעה כיוונים

כפל בחיובי

$\frac{x}{2} < 4 \Rightarrow x < 8$ . הסימן נשמר.

כפל בשלילי

$- x > 3 \Rightarrow x < - 3$ . הסימן הפוך!

חיסור משני אגפים

$x + 5 \geq 7 \Rightarrow x \geq 2$ . נשמר.

חיבור לאגף שלילי

$- x + 2 < 6 \Rightarrow - x < 4 \Rightarrow x > - 4$ . בסוף הופכים סימן.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 18

פתרו $5 - 2 x < 1$ .

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של פתרון אלגברי וגרפי של אי-שוויונות כבר מוכן.

פתחו תרגול

פתרון אלגברי וגרפי של אי-שוויונות

פותחים את הרעיון

הגדרה ומשמעות

הכלל שמחליף כיוון

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

חישוב

פירוש

מסלול עבודה מלא

פותרים כמו משוואה

שומרים על הסימן

בודקים בתחום

ייצוגים ודוגמאות

שלבי פתרון ובדיקה

דוגמאות שמחברות את הרעיון

מספר חיובי

מספר שלילי

בדיקה

גרף

דוגמה מודרכת

דוגמה מודרכת - פתרון חיוביות

דוגמה נוספת - היפוך סימן במספר שלילי

מתאמנים בהדרגה

תרגול - היפוך סימן

תרגול - פתרון גרפי

תרגול אתגר - אי-שוויון עם שני צעדים

למה הטעות הזאת קורית?

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מה הפעולה?

איך בודקים?

טעויות נפוצות

בדיקת סיום לפני תשובה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

בדיקת מוכנות לפני החידון

כללי הפעולות באי-שוויונות

ארבע פעולות, שתי תוצאות אפשריות

ארבע פעולות, ארבעה כיוונים

כפל בחיובי

כפל בשלילי

חיסור משני אגפים

חיבור לאגף שלילי

פתרו 5−2x<1.