מערכת צירים במישור

מקו אחד לשני ממדים - סימון וקריאה של נקודות במישור

חידת פתיחה

איך אתם נותנים כתובת למישהו? "רחוב הרצל 15" - שני מספרים מתארים מיקום. ב-GPS: קו רוחב וקו אורך. במתמטיקה יש הגדרה פורמלית יותר: מערכת צירים. וחשבו על זה - איך המטוס יודע בדיוק לאיזו נקודה לעוף? איך משחקי מחשב יודעים בדיוק איפה הדמות נמצאת? הכל מתחיל מכאן.

מציר אחד למישור שלם

עד עכשיו עבדנו על ציר מספרים אחד - קו ישר. עכשיו אנחנו מרחיבים לשני ממדים! מערכת צירים מאפשרת לנו לתאר כל נקודה במישור באמצעות שני מספרים.

שני צירים

ציר

x

(אופקי) וציר

y

(אנכי)

ארבעה רביעים

המישור מחולק ל-4 אזורים

זוג מסודר

(x, y)

- כתובת של כל נקודה

קישור ללמידה הקודמת

בציר המספרים המורחב למדנו לסמן מספר על קו אחד - מיקום אחד, מספר אחד. במספרים נגדיים ראינו שכל מספר משתקף מצד שני של ה- $0$ . עכשיו אנחנו עושים את הקפיצה: במקום ציר אחד יש שני צירים ניצבים, ובמקום מספר אחד צריך שני מספרים כדי לתאר מיקום. השיקוף שראינו ב"מספרים נגדיים" יחזור אצלנו - אבל ביחס לכל ציר בנפרד.

מבנה מערכת הצירים

מערכת צירים מורכבת משני צירים ניצבים (בזווית ישרה) זה לזה:

ציר $x$ (אופקי): חיובי ימינה, שלילי שמאלה
ציר $y$ (אנכי): חיובי למעלה, שלילי למטה
מקור הצירים $(0, 0)$ : הנקודה שבה הצירים נחתכים

זוג מסודר - הכתובת של נקודה

כל נקודה במישור מתוארת בזוג מסודר $(x, y)$ :

שני המרכיבים של הזוג המסודר

x - השיעור האופקי

כמה ימינה (+) או שמאלה (-) מהמקור

דוגמה: $x = 3$ ← 3 ימינה
$x = - 2$ ← 2 שמאלה

y - השיעור האנכי

כמה למעלה (+) או למטה (-) מהמקור

דוגמה: $y = 4$ ← 4 למעלה
$y = - 1$ ← 1 למטה

חשוב: הסדר קבוע! תמיד x קודם, y אחריו. (3, 2) שונה מ-(2, 3)

הכלל המהותי

(x, y) \neq = (y, x) אלא אם x = y

ארבעת הרביעים

שני הצירים מחלקים את המישור לארבעה רביעים. החלוקה מתחילה ברביע I (ימין-למעלה) וממשיכה נגד כיוון השעון - זו המוסכמה המתמטית העולמית.

רביע I: (+, +)

$x$ חיובי, $y$ חיובי
ימין-למעלה
דוגמה: $(3, 2)$

רביע II: (-, +)

$x$ שלילי, $y$ חיובי
שמאל-למעלה
דוגמה: $(- 2, 4)$

רביע III: (-, -)

$x$ שלילי, $y$ שלילי
שמאל-למטה
דוגמה: $(- 3, - 1)$

רביע IV: (+, -)

$x$ חיובי, $y$ שלילי
ימין-למטה
דוגמה: $(4, - 2)$

איך סומנים נקודה? צעד אחר צעד

שיטת הסימון

לסמן נקודה מזוג נתון

מ- $(x, y)$ לנקודה

מתחילים במקור (0, 0)

זזים לפי x - ימינה או שמאלה

מהמקום החדש, זזים לפי y - למעלה או למטה

שם הנקודה - מסמנים!

לקרוא שיעורים מגרף

מנקודה לזוג

מהנקודה, הורידו אנך לציר x - קוראים את x

מהנקודה, הורידו אופק לציר y - קוראים את y

כותבים כזוג מסודר (x, y)

דוגמאות פתורות

סימון וקריאה של נקודות

סימון $(2, 3)$

1. מתחילים במקור $(0, 0)$
2. זזים 2 ימינה ( $x = 2)$
3. זזים 3 למעלה ( $y = 3)$
4. סמנו - רביע I

סימון $(- 4, 2)$

1. מתחילים במקור $(0, 0)$
2. זזים 4 שמאלה ( $x = - 4)$
3. זזים 2 למעלה ( $y = 2)$
4. סמנו - רביע II

קביעת שיעורים

נקודה 5 ימינה ו-3 למטה.
פתרון: $(5, - 3)$
רביע IV (חיובי, שלילי)

זיהוי רביע

$(- 3, - 4)$ באיזה רביע?
פתרון: $x$ שלילי, $y$ שלילי
רביע III (שמאל-למטה)

מעבר שיעורים

הנקודה $(7, - 2)$ משקפים לציר $x$ . מה הנקודה החדשה?
פתרון: השיקוף הופך את סימן y.
$(7, 2)$ - עוברים מרביע IV ל-I.

נקודה על ציר

הנקודה $(0, 5)$ נמצאת איפה?
פתרון: $x = 0$ ← על ציר y.
לא נמצאת באף רביע, אלא על הציר עצמו.

נסו בעצמכם - כתובת על המישור

לחצו על המישור ונסו לקרוא בקול את הכתובת של כל נקודה. קודם x ואחר כך y. אחר כך בדקו באיזה רביע היא יושבת.

טוען סימולציה...

נקודות מיוחדות - על הצירים

יש נקודות שנמצאות על הצירים עצמם, לא ברביע מסוים:

נקודות על הצירים

מיקום	תנאי	דוגמה
על ציר x	$y = 0$	$(3, 0), (- 2, 0)$
על ציר y	$x = 0$	$(0, 4), (0, - 5)$
מקור הצירים	$x = 0$ וגם $y = 0$	$(0, 0)$

מהחיים: איפה משתמשים במערכת צירים?

מערכת צירים בעולם האמיתי

GPS וניווט

כשאתם מחפשים מקום ב-Google Maps, המערכת משתמשת בקו רוחב ו-קו אורך - בדיוק כמו $(x, y)$ . תל אביב: $(32.07, 34.78)$ .

משחקי מחשב

כל דמות במשחק מחשב נמצאת בקואורדינטות מסוימות במסך. כשאתם לוחצים על מקום במסך - המחשב ממיר את המיקום לזוג $(x, y)$ .

רפואה - רנטגן

תמונות רפואיות מתארות מיקומים של עצמות ואיברים במערכת צירים. כל פיקסל בתמונה הוא נקודה במערכת.

אסטרונומיה

כוכבים וגרמי שמיים ממופים במערכת צירים שלוש-ממדית $(x, y, z)$ . מערכת הצירים הדו-ממדית שלכם היא הצעד הראשון.

שאלה לחשיבה

מה המשותף לנקודות $(2, 3), (- 2, 3), (2, - 3)$ ?

כולן באותו מרחק מהמקור בערך מוחלט, אבל ברביעים שונים! $(2, 3)$ ברביע I, $(- 2, 3)$ ברביע II, $(2, - 3)$ ברביע IV. הן כמו 'השתקפויות' של אותה נקודה ביחס לצירים.

הקשר הזה חשוב כשנלמד על סימטריה במישור.

שאלה לחשיבה

האם $(4, 7)$ ו- $(7, 4)$ מתארות את אותה נקודה?

לא! ב $(4, 7)$ זזים $4$ ימינה ו- $7$ למעלה. ב $(7, 4)$ זזים $7$ ימינה ו- $4$ למעלה. שתי נקודות שונות, שתיהן ברביע I, אבל לא באותו מקום. זה בדיוק העיקרון של זוג מסודר: הסדר חשוב.

מתי כן יתקבל אותו מיקום? רק כש- $x = y$ , למשל $(5, 5)$ . אז ההיפוך לא משנה את הנקודה.

טעויות נפוצות

המלכודות בסימון נקודות

ארבע הטעויות המובילות שתלמידים עושים עם זוג מסודר ורביעים:

היפוך הסדר: סימון $(2, 5)$ במקום $(5, 2)$ . זכרו: $x$ תמיד ראשון - אופקי לפני אנכי.
סימן הפוך ב- $y$ : זזים למטה ב- $y$ חיובי או למעלה ב- $y$ שלילי. כלל קבוע: חיובי = מעלה, שלילי = מטה.
חישוב רביע מהסימן הלא נכון: למשל לחשוב ש- $(- 3, 2)$ ברביע III. שלילי-חיובי = רביע II, לא III. בדקו את הסימן של שני השיעורים.
נקודות על הצירים נחשבות כרביע: $(0, 4)$ אינה ברביע I או II - היא על ציר $y$ עצמו. נקודות על הצירים אינן באף רביע.

טיפ חשוב - סדר הוא הכל

זכרו את הסדר: $x$ תחילה, אז $y$ . הזוג המסודר $(x, y)$ מספר לכם: קודם ימינה/שמאלה, אז למעלה/למטה. כמו כתובת: רחוב ( $x$ ) ואז מספר בית ( $y$ ). סדר לא נכון = מיקום לא נכון!

$(3, 2)$ - 3 ימינה, 2 למעלה
$(2, 3)$ - 2 ימינה, 3 למעלה (נקודה אחרת!)
טריק: 'X before Y' בסדר האלף-בית האנגלי
בבדיקה: מייצרים מיד מיקומים עם x ו-y שונים

רנה דקארט (1596-1650), מתמטיקאי ופילוסוף צרפתי, הוא ממציא מערכת הצירים. לפי אגדה ידועה, דקארט היה חולה יום אחד ושכב במיטה. הוא הסתכל על התקרה וראה זבוב נע. פתאום עלה במוחו הרעיון: איך אפשר לתאר במדויק את מיקום הזבוב בכל רגע?

התשובה שלו: שני מספרים - אחד למרחק מקיר אחד, אחד למרחק מקיר אחר. הרעיון הפשוט הזה חולל מהפכה: הוא חיבר בין גאומטריה (צורות) ו-אלגברה (משוואות). כל עקומה אפשר לבטא במשוואה, וכל משוואה אפשר לצייר.

בזכות דקארט, אנחנו יכולים היום: לחזות את מסלולי כוכבי הלכת, לתכנן גשרים ובניינים, להפעיל מחשבים, ליצור אנימציות ולבנות GPS. לכן מערכת הצירים נקראת גם "מערכת צירים קרטזית" על שמו. כשאתם מסמנים נקודה על גרף, אתם פועלים לפי שיטה בת 400 שנה שמנוסחת באלפי ספרי לימוד בכל העולם.

אמרה מפורסמת של דקארט: "אני חושב, משמע אני קיים" - והוא גם גרם לכולנו לחשוב במערכות צירים.

שאלה 1 מתוך 7

מהם שיעורי מקור הצירים?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מערכת צירים במישור כבר מוכן.

פתחו תרגול

מערכת צירים במישור

חידת פתיחה

מציר אחד למישור שלם

קישור ללמידה הקודמת

מבנה מערכת הצירים

זוג מסודר - הכתובת של נקודה

שני המרכיבים של הזוג המסודר

x - השיעור האופקי

y - השיעור האנכי

ארבעת הרביעים

רביע I: (+, +)

רביע II: (-, +)

רביע III: (-, -)

רביע IV: (+, -)

איך סומנים נקודה? צעד אחר צעד

שיטת הסימון

לסמן נקודה מזוג נתון

לקרוא שיעורים מגרף

דוגמאות פתורות

סימון וקריאה של נקודות

סימון (2,3)

סימון (−4,2)

קביעת שיעורים

זיהוי רביע

מעבר שיעורים

נקודה על ציר

נסו בעצמכם - כתובת על המישור

נקודות מיוחדות - על הצירים

נקודות על הצירים

מהחיים: איפה משתמשים במערכת צירים?

מערכת צירים בעולם האמיתי

GPS וניווט

משחקי מחשב

רפואה - רנטגן

אסטרונומיה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

טעויות נפוצות

המלכודות בסימון נקודות

טיפ חשוב - סדר הוא הכל

רנה דקארט - הזבוב שהוליד מהפכה

מהם שיעורי מקור הצירים?