נתון l \parallel m, הישר n חותך אותם ו-\angle 3 = 65^\circ. מצאו את גודל כל 8 הזוויות, ופרטו את הנימוק שלכם בכל שלב.

\angle 3 = 65^\circ (נתון) \angle 2 = 65^\circ (קודקודית ל-\angle 3) \angle 6 = 65^\circ (מתחלפת פנימית ל-\angle 3) \angle 7 = 65^\circ (מתחלפת חיצונית ל-\angle 2, או קודקודית ל-\angle 6) \angle 1 = 115^\circ (צמודה ל-\angle 3 בנקודת החיתוך העליונה) \angle 4 = 115^\circ (קודקודית ל-\angle 1, או צמודה ל-\angle 3 בנקודת החיתוך העליונה) \angle 5 = 115^\circ (מתחלפת פנימית ל-\angle 4) \angle 8 = 115^\circ (מתחלפת חיצונית ל-\angle 1, או קודקודית ל-\angle 5)

זוויות מתחלפות במקבילים

כשישר חותך שני ישרים מקבילים - זוויות מתחלפות תמיד שוות!

ישרים מקבילים - מה מיוחד?

במודול ישר החותך שני ישרים זיהינו את זוגות הזוויות (מתחלפות ומתאימות) בלי לטעון ששוויון מתקיים. כעת נוסיף את התנאי החסר: כשהישרים הם מקבילים, זוויות מתחלפות שוות זו לזו. אם נדע אחת מהן - נוכל למצוא את כל השאר.

ישרים מקבילים

שני ישרים שלעולם לא נפגשים

התכונה

זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות

שימוש

מציאת זוויות לא ידועות

תזכורת: ישרים מקבילים

ישרים מקבילים הם שני ישרים שנמצאים באותו מישור ולעולם לא נפגשים, גם אם נאריך אותם לאינסוף.

סימון: $l ∥ m$ (הקו $l$ מקביל לקו $m)$

התכונה: מתחלפות שוות

כלל: זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות

אם $l ∥ m$ והישר $n$ חותך אותם, אז:

מתחלפות פנימיות: $∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5$
מתחלפות חיצוניות: $∠1 = ∠8, ∠2 = ∠7$

חשוב: תכונה זו תקפה רק כאשר הישרים מקבילים. אם הישרים אינם מקבילים, הזוויות המתחלפות אינן חייבות להיות שוות.

כלל הזוויות המתחלפות הפנימיות

l ∥ m \Rightarrow ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5

כלל הזוויות המתחלפות החיצוניות

l ∥ m \Rightarrow ∠1 = ∠8, ∠2 = ∠7

ארבעת זוגות הזוויות המתחלפות

כל זוגות הזוויות המתחלפות בין מקבילים

זוג	סוג	מיקום	בין מקבילים
$∠3$ ו- $∠6$	פנימית	בין הישרים, בצדדים נגדיים של החותך	$∠3 = ∠6$
$∠4$ ו- $∠5$	פנימית	בין הישרים, בצדדים נגדיים של החותך	$∠4 = ∠5$
$∠1$ ו- $∠8$	חיצונית	מחוץ לישרים, בצדדים נגדיים של החותך	$∠1 = ∠8$
$∠2$ ו- $∠7$	חיצונית	מחוץ לישרים, בצדדים נגדיים של החותך	$∠2 = ∠7$

* השוויון בכל זוג מתקיים אך ורק כאשר הישרים מקבילים.

דוגמה פתורה - מזווית אחת לכל המערכת

שלב 1 מתוך 3

l ∥ m, ∠3 = 6 5^{\circ}

כשהישר $n$ חותך שני ישרים מקבילים, $∠6$ ו- $∠3$ הן זוויות מתחלפות פנימיות, ולכן שוות זו לזו

∠6 = ∠3 = 6 5^{\circ}

תרגיל - מתחלפות פנימיות

בסיסי

נתון $l ∥ m$ והישר $n$ חותך אותם. $∠4 = 10 8^{\circ}$ . מהו גודל $∠5$ ?

תרגיל - בוחרים את הכלל הנכון

בינוני

נתון $l ∥ m$ והישר $n$ חותך אותם. $∠1 = 7 2^{\circ}$ . מצאו את $∠8$ והסבירו בקצרה באיזה קשר השתמשתם.

טעויות נפוצות בזיהוי מתחלפות

לפני שמשתמשים בכלל הזוויות המתחלפות, חשוב לבדוק שני תנאים: (1) שהישרים אכן מקבילים, ו-(2) שהזוויות באמת נמצאות בצדדים נגדיים של החותך.

מזהים את שני הישרים המקבילים ואת החותך, ומסמנים אותם בעיפרון.
מאתרים את שתי הזוויות בשאלה ובודקים האם הן בצדדים נגדיים של החותך.
אם שתיהן בין הישרים - מתחלפות פנימיות. אם שתיהן מחוץ לישרים - מתחלפות חיצוניות.
רק לאחר זיהוי הזוג כותבים את שוויון הזוויות ומציבים את הערך הנתון.

אתגר - שרשרת קשרים

מאתגר

נתון $l ∥ m$ והישר $n$ חותך אותם. ידוע ש- $∠2 = 4 7^{\circ}$ . מצאו את $∠5$ והסבירו בשלבים.

טוען סימולציה...

דוגמאות מהחיים

כבישים מקבילים

כביש אלכסוני שחוצה שני כבישים מקבילים יוצר בכל צומת זוויות זהות. זה עוזר למהנדסי תנועה לתכנן צמתים בטוחים.

מסילות רכבת

מעל מעבר חציה לרכבת, שתי המסילות מקבילות וכביש החוצה אותן יוצר זוויות מתחלפות שוות בשני הצדדים.

סולם המוצב על קיר

שלבי הסולם מקבילים זה לזה, והשוקיים יוצרים איתם זוויות מתחלפות שוות לכל אורך הסולם.

פנימיות מול חיצוניות

מתחלפות פנימיות

שתי הזוויות נמצאות בין שני הישרים המקבילים, בצדדים נגדיים של החותך.

דוגמה: $∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5$

מתחלפות חיצוניות

שתי הזוויות נמצאות מחוץ לישרים המקבילים, בצדדים נגדיים של החותך.

דוגמה: $∠1 = ∠8, ∠2 = ∠7$

המשותף: בשני המקרים השוויון מתקיים אך ורק כאשר הישרים מקבילים.

שאלה לחשיבה

מתי שתי זוויות מתחלפות פנימיות שוות?

רק כשהישרים מקבילים. אם הישרים אינם מקבילים, הזוויות המתחלפות לא חייבות להיות שוות. למעשה, אם נמדוד שתי זוויות מתחלפות פנימיות ונראה שהן שוות, זאת בדיוק ההוכחה שהישרים מקבילים.

שאלה לחשיבה

נתון $l ∥ m$ , הישר $n$ חותך אותם ו- $∠3 = 6 5^{\circ}$ . מצאו את גודל כל 8 הזוויות, ופרטו את הנימוק שלכם בכל שלב.

$∠3 = 6 5^{\circ}$ (נתון)
$∠2 = 6 5^{\circ}$ (קודקודית ל- $∠3)$
$∠6 = 6 5^{\circ}$ (מתחלפת פנימית ל- $∠3)$
$∠7 = 6 5^{\circ}$ (מתחלפת חיצונית ל- $∠2$ , או קודקודית ל- $∠6)$
$∠1 = 11 5^{\circ}$ (צמודה ל- $∠3$ בנקודת החיתוך העליונה)
$∠4 = 11 5^{\circ}$ (קודקודית ל- $∠1$ , או צמודה ל- $∠3$ בנקודת החיתוך העליונה)
$∠5 = 11 5^{\circ}$ (מתחלפת פנימית ל- $∠4)$
$∠8 = 11 5^{\circ}$ (מתחלפת חיצונית ל- $∠1$ , או קודקודית ל- $∠5)$

שאלה 1 מתוך 7

מדדנו שתי זוויות מתחלפות פנימיות במערכת של חותך ושני ישרים, וגילינו שהן אינן שוות. מה אפשר להסיק?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של זוויות מתחלפות במקבילים כבר מוכן.

פתחו תרגול