מה קורה כשהקרן OB מתלכדת בדיוק עם הקרן OA? כמה גדולה \angle AOB, ומה הקשר בין \angle AOC ל-\angle BOC?

כשהקרניים מתלכדות אין סיבוב בכלל ביניהן, ולכן \angle AOB = 0^\circ. במקרה הזה \angle AOC = 0^\circ + \angle BOC = \angle BOC - השלם והחלק הופכים לאותה זווית בדיוק.

סכום והפרש זוויות

Q: שתי זוויות סכומן 180^\circ. אחת מהן 65^\circ. מהו גודל השנייה?

180^\circ - 65^\circ = 115^\circ. הזווית השנייה היא 115^\circ.

Q: שלוש זוויות סכומן 180^\circ. שתיים מהן 50^\circ ו-70^\circ. מהי השלישית?

50^\circ + 70^\circ = 120^\circ. הזווית השלישית היא 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.

חיבור וחיסור של זוויות - בדיוק כמו בחשבון רגיל, אבל עם פתיחות!

חשבון עם זוויות

כמו שאפשר לחבר ולחסר מספרים, אפשר גם לחבר ולחסר זוויות. אם יש לנו שתי זוויות ש"יושבות" זו ליד זו וחולקות קרן, נוצרת זווית חדשה - גדולה יותר (חיבור), או שאפשר להוציא מתוך זווית גדולה חלק קטן יותר (חיסור).

חיבור

הנחת זוויות זו ליד זו עם קרן משותפת

חיסור

מציאת חלק חסר בתוך זווית גדולה

שימושים

בסיס לזוויות צמודות, חוצה זווית וסכום זוויות במשולש

הרעיון המרכזי

למה אפשר לחבר זוויות?

זווית מודדת "כמה סובבנו" מקרן אחת לקרן שנייה. אם מצרפים שני סיבובים זה אחר זה, מקבלים סיבוב אחד גדול - והוא הסכום.

דמיינו שאתם עומדים בנקודה $O$ ופונים לקרן $O A$ . אתם מסתובבים ב- $4 0^{\circ}$ ועוצרים בקרן $O B$ - זוהי $∠ A O B$ . עכשיו אתם ממשיכים מ- $O B$ ומסתובבים עוד $3 5^{\circ}$ עד הקרן $O C$ - זוהי $∠ B O C$ .

כמה סובבתם בסך הכל מ- $O A$ עד $O C$ ? בדיוק את סכום שני הסיבובים: $4 0^{\circ} + 3 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ . זוהי $∠ A O C$ .

כשהקרן $O B$ נמצאת בין $O A$ ל- $O C$ , מתקיים תמיד $∠ A O C = ∠ A O B + ∠ B O C$ . זה הכלל היסודי מאחורי כל החישובים בפרק הזה.

חיבור זוויות

כשמחברים שתי זוויות, אנחנו מניחים אותן זו ליד זו כך שהן חולקות קודקוד וקרן משותפת. הזווית שמתקבלת היא סכום שתי הזוויות.

כלל החיבור: אם שתי זוויות $∠ A O B$ ו- $∠ B O C$ חולקות את הקודקוד $O$ ואת הקרן $O B$ , והקרן $O B$ נמצאת בין $O A$ ל- $O C$ , אז הזווית הכוללת היא $∠ A O C = ∠ A O B + ∠ B O C$ .

כלל סכום זוויות עם קרן משותפת

∠ A O C = ∠ A O B + ∠ B O C

שלוש קרניים, שתי זוויות, זווית כוללת אחת

הקרן $O B$ משותפת לשתי הזוויות וחוצה את $∠ A O C$ לשני חלקים. לכן הזווית הכוללת מתקבלת מחיבור: $∠ A O C = 4 0^{\circ} + 3 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ .

דוגמאות לחיבור זוויות

שעון

מחוג השעות עבר מ-12 ל-2 ( $6 0^{\circ}$ ) ואחר כך מ-2 ל-3 ( $3 0^{\circ}$ ). סך הכל: $6 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

דלת

דלת נפתחה ב- $4 5^{\circ}$ ואחר כך עוד $4 5^{\circ}$ . סך הכל היא פתוחה ב- $4 5^{\circ} + 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

חישוב

$∠ A = 4 0^{\circ}$ ו- $∠ B = 5 0^{\circ}$ . סכומן: $∠ A + ∠ B = 4 0^{\circ} + 5 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

שלוש זוויות

$∠ A = 2 5^{\circ}, ∠ B = 3 5^{\circ}, ∠ C = 3 0^{\circ}$ . סכומן: $2 5^{\circ} + 3 5^{\circ} + 3 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

דוגמה פתורה - חיבור על פי הציור

שלב 1 מתוך 2

∠ A O B = 4 0^{\circ}, ∠ B O C = 3 5^{\circ}

הקרן $O B$ משותפת לשתי הזוויות, ולכן הזווית הכוללת היא הסכום

∠ A O C = ∠ A O B + ∠ B O C

חיסור זוויות

חיסור זוויות הוא הפעולה ההפוכה. אם בתוך זווית גדולה יודעים את גודל אחד החלקים, אפשר למצוא את החלק החסר על ידי חיסור החלק הידוע מן השלם.

השלם פחות חלק - מקבלים את החלק החסר

השלם הוא $∠ A O C = 12 0^{\circ}$ . בתוכו יושבת $∠ A O B = 8 0^{\circ}$ . החלק החסר $∠ B O C$ מתקבל בחיסור: $∠ B O C = 12 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .

דוגמאות לחיסור זוויות

דוגמה 1: דלת נפתחה ל- $12 0^{\circ}$ ואחר כך נסגרה חלקית ל- $8 0^{\circ}$ .
הדלת "חזרה" ב: $12 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .

דוגמה 2: $∠ C = 15 0^{\circ}$ ו- $∠ D = 6 0^{\circ}$ .
הפרש: $∠ C - ∠ D = 15 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

דוגמה 3: זווית כוללת של $18 0^{\circ}$ מחולקת לשתי זוויות. אחת מהן $7 5^{\circ}$ .
השנייה: $18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$ .

דוגמה פתורה - חיסור על פי הציור

שלב 1 מתוך 3

∠ A O C = 12 0^{\circ}, ∠ A O B = 8 0^{\circ}

הקרן $O B$ נמצאת בתוך $∠ A O C$ , כך שהיא מחלקת אותה לשני חלקים

∠ A O C = ∠ A O B + ∠ B O C

מעבדה אינטראקטיבית

גררו את הקרניים $B$ ו- $C$ ושימו לב שגם בחיבור וגם בחיסור הקשר $∠ A O C = ∠ A O B + ∠ B O C$ מתקיים תמיד.

טוען סימולציה...

תרגילים מודרכים

תרגיל 1 - למצוא חלק חסר

בינוני

הזווית הכוללת $∠ A O C$ היא $14 0^{\circ}$ , ואחת הזוויות שבתוכה, $∠ A O B$ , היא $6 5^{\circ}$ . הקרן $O B$ נמצאת בין $O A$ ל- $O C$ . מהו גודל $∠ B O C$ ?

תרגיל 2 - אתגר: שני שלבים והכרעה

מאתגר

ארבע קרניים יוצאות מנקודה $O$ : הקרניים $O A$ , $O B$ , $O C$ ו- $O D$ , מסודרות לפי הסדר הזה ( $O B$ בין $O A$ ל- $O C$ , ו- $O C$ בין $O B$ ל- $O D$ ). נתון: $∠ A O D = 17 0^{\circ}$ , $∠ A O B = 5 5^{\circ}$ , $∠ C O D = 4 8^{\circ}$ . מהו גודל $∠ B O C$ ?

תרגול עצמי

תרגיל 1

$∠ A = 4 0^{\circ}$ ו- $∠ B = 5 0^{\circ}$ .

מהו סכומן?

פתרון: $∠ A + ∠ B = 4 0^{\circ} + 5 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$

תרגיל 2

$∠ C = 12 0^{\circ}$ ו- $∠ D = 4 5^{\circ}$ .

מהו $∠ C - ∠ D$ ?

פתרון: $12 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$

תרגיל 3

שלוש זוויות: $2 5^{\circ}$ , $3 5^{\circ}$ ו- $3 0^{\circ}$ .

מהו סכומן?

פתרון: $2 5^{\circ} + 3 5^{\circ} + 3 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$

תרגיל 4

זווית של $18 0^{\circ}$ מחולקת. חלק אחד $11 0^{\circ}$ .

מהו החלק השני?

פתרון: $18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$

טעויות נפוצות - היזהרו!

חיבור זוויות עובד רק כשהזוויות יושבות זו ליד זו וחולקות קרן וקודקוד, ולא חופפות זו על זו.

חיבור בלי קרן משותפת: שתי זוויות במקומות שונים בדף אינן "מצטרפות" סתם. לפני שמחברים, חייבים לוודא שהן מסודרות זו ליד זו עם קרן משותפת.
חפיפה במקום סמיכות: אם זווית אחת מונחת בתוך זווית אחרת (חופפות חלקית), המידות לא מתחברות. במקרה כזה משתמשים בחיסור.
חיסור הפוך: בחיסור תמיד השלם פחות חלק. אם הופכים את הסדר וכותבים $6 5^{\circ} - 14 0^{\circ}$ , מקבלים מספר שלילי שאין לו משמעות גיאומטרית.

זכרו!

חיבור וחיסור זוויות עובדים בדיוק כמו חיבור וחיסור של מספרים רגילים - אבל רק כשהזוויות חולקות קודקוד וקרן. אם יש קרן משותפת, פשוט מחברים או מחסרים את המעלות.

לאן זה ממשיך?

הכלל הזה הוא הבסיס לכל הפרק

זוויות צמודות

מקרה פרטי של חיבור: שתי זוויות שיחד יוצרות קו ישר.

דוגמה: סכומן $= 18 0^{\circ}$

חוצה זווית

מקרה פרטי של חיסור: השלם מחולק לשני חלקים שווים.

דוגמה: כל חלק $= \frac{שלם}{2}$

סכום זוויות במשולש

חיבור של שלוש זוויות במשולש נותן תמיד את אותו סכום קבוע.

דוגמה: $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$

ברגע שמבינים שזוויות מתחברות ומתחסרות כמו מספרים, כל שאר התכונות בפרק הופכות פשוטות.

שאלה לחשיבה

שתי זוויות סכומן $18 0^{\circ}$ . אחת מהן $6 5^{\circ}$ . מהו גודל השנייה?

$18 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 11 5^{\circ}$ . הזווית השנייה היא $11 5^{\circ}$ .

זוויות שסכומן $18 0^{\circ}$ יש להן שם מיוחד - זוויות צמודות - נלמד עליהן במודול הבא.

שאלה לחשיבה

שלוש זוויות סכומן $18 0^{\circ}$ . שתיים מהן $5 0^{\circ}$ ו- $7 0^{\circ}$ . מהי השלישית?

$5 0^{\circ} + 7 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ . הזווית השלישית היא $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .

זה בדיוק הרעיון של סכום זוויות במשולש, שנלמד בהמשך הפרק - שלוש זוויות שמצטרפות ל- $18 0^{\circ}$ .

שאלה לחשיבה

מה קורה כשהקרן $O B$ מתלכדת בדיוק עם הקרן $O A$ ? כמה גדולה $∠ A O B$ , ומה הקשר בין $∠ A O C$ ל- $∠ B O C$ ?

כשהקרניים מתלכדות אין סיבוב בכלל ביניהן, ולכן $∠ A O B = 0^{\circ}$ . במקרה הזה $∠ A O C = 0^{\circ} + ∠ B O C = ∠ B O C$ - השלם והחלק הופכים לאותה זווית בדיוק.

זה מקרה קצה: אין באמת שתי זוויות, רק זווית אחת. הכלל ממשיך לעבוד באופן עקבי - גם כש"החלק" הוא אפס.

שאלה 1 מתוך 10

שלוש זוויות צמודות זו לזו: $4 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ ו- $8 0^{\circ}$ . מהו סכומן?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של סכום והפרש זוויות כבר מוכן.

פתחו תרגול

סכום והפרש זוויות

חשבון עם זוויות

הרעיון המרכזי

למה אפשר לחבר זוויות?

חיבור זוויות

דוגמאות לחיבור זוויות

שעון

דלת

חישוב

שלוש זוויות

דוגמה פתורה - חיבור על פי הציור

חיסור זוויות

דוגמאות לחיסור זוויות

דוגמה פתורה - חיסור על פי הציור

מעבדה אינטראקטיבית

תרגילים מודרכים

תרגיל 1 - למצוא חלק חסר

תרגיל 2 - אתגר: שני שלבים והכרעה

תרגול עצמי

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

טעויות נפוצות - היזהרו!

זכרו!

לאן זה ממשיך?

הכלל הזה הוא הבסיס לכל הפרק

זוויות צמודות

חוצה זווית

סכום זוויות במשולש

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שלוש זוויות צמודות זו לזו: 40∘, 60∘ ו-80∘. מהו סכומן?