מהו הוכחה באמצעות זוויות צמודות?

נשתמש במה שלמדנו על זוויות צמודות כדי להוכיח שקודקודיות שוות. \angle 1 ו-\angle 2 הן צמודות, אז: \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \angle 2 ו-\angle 3 גם צמודות, אז: \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ משתי המשוואות: \angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3 נחסר \angle 2 משני הצדדים: \angle 1 = \angle 3 זוויות קודקודיות שוות כי שתיהן משלימות את אותה זווית ל-180^\circ!

שני ישרים נחתכים בנקודה O. נתון \angle 1 = 52^\circ. מצאו את שלוש הזוויות האחרות.

\angle 3 = 52^\circ כי היא קודקודית ל-\angle 1. \angle 2 = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ כי היא צמודה ל-\angle 1. \angle 4 = 128^\circ כי היא קודקודית ל-\angle 2.

זוויות קודקודיות

כששני ישרים נחתכים - הזוויות שמול-מול תמיד שוות!

ארבע זוויות, שני זוגות

כששני ישרים נחתכים בנקודה אחת, הם יוצרים ארבע זוויות. הזוויות שנמצאות זו מול זו (בצדדים הנגדיים) נקראות זוויות קודקודיות, ויש להן תכונה מפתיעה - הן תמיד שוות!

הגדרה

זוויות בצדדים נגדיים של נקודת חיתוך

תכונה

זוויות קודקודיות תמיד שוות

הוכחה

באמצעות זוויות צמודות

הגדרה: זוויות קודקודיות

הגדרה: זוויות קודקודיות נוצרות כששני ישרים נחתכים בנקודה. הן זוויות שנמצאות בצדדים הנגדיים ("מול מול") של נקודת החיתוך.

כששני ישרים נחתכים, נוצרות 4 זוויות. מתוכן נוצרים שני זוגות של זוויות קודקודיות:

זוג ראשון

$∠1$ ו- $∠3$ - נמצאות מול-מול.
$∠1 = ∠3$

זוג שני

$∠2$ ו- $∠4$ - נמצאות מול-מול.
$∠2 = ∠4$

התכונה: קודקודיות תמיד שוות!

כלל: זוויות קודקודיות שוות

אם $∠1$ ו- $∠3$ קודקודיות, אז $∠1 = ∠3$ .

זה נכון תמיד - לא משנה מה גודל הזוויות.

הוכחה - למה זה עובד?

הוכחה באמצעות זוויות צמודות

נשתמש במה שלמדנו על זוויות צמודות כדי להוכיח שקודקודיות שוות.

$∠1$ ו- $∠2$ הן צמודות, אז: $∠1 + ∠2 = 18 0^{\circ}$

$∠2$ ו- $∠3$ גם צמודות, אז: $∠2 + ∠3 = 18 0^{\circ}$

משתי המשוואות:
$∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3$

נחסר $∠2$ משני הצדדים:
$∠1 = ∠3$

זוויות קודקודיות שוות כי שתיהן משלימות את אותה זווית ל- $18 0^{\circ}$ !

דוגמאות מהחיים

זוויות קודקודיות בעולם

צומת כבישים

כששני כבישים נחתכים, הזוויות שמול-מול תמיד שוות. נהג שמגיע מכיוון אחד רואה את אותה זווית כמו נהג מהכיוון ההפוך.

מספריים

כשפותחים מספריים, הזוויות בין הלהבים בצדדים הנגדיים שוות. זו דוגמה קלאסית לזוויות קודקודיות!

חוטים קשורים

כששני חוטים מתוחים נקשרים בנקודה אחת, הזוויות בצדדים הנגדיים שוות.

סימן X

האות X היא דוגמה מושלמת - שני ישרים נחתכים ויוצרים שני זוגות של זוויות קודקודיות.

תרגילים

תרגיל 1

שני ישרים נחתכים. $∠1 = 7 5^{\circ}$ .
מהו $∠3$ הקודקודית?

פתרון: $∠1 = ∠3 = 7 5^{\circ}$

תרגיל 2

שני ישרים נחתכים. $∠1 = 7 5^{\circ}$ .
מהי $∠2$ הצמודה?

$∠1 + ∠2 = 18 0^{\circ}$
$∠2 = 10 5^{\circ}$

תרגיל 3

$∠ A O B = 11 0^{\circ}$ .
מהי $∠ C O D$ הקודקודית?

פתרון: $∠ A O B = ∠ C O D = 11 0^{\circ}$

תרגיל 4

שני ישרים נחתכים. $∠1 = 11 0^{\circ}$ .
מצאו את כל הזוויות.

$∠1 = 11 0^{\circ}, ∠3 = 11 0^{\circ}$
$∠2 = 7 0^{\circ}, ∠4 = 7 0^{\circ}$

טוען סימולציה...

ההבדל בין צמודות לקודקודיות

צמודות מול קודקודיות

זוויות צמודות

זו ליד זו, חולקות שוק משותפת

דוגמה: סכומן $= 18 0^{\circ}$

זוויות קודקודיות

מול-מול, בצדדים הנגדיים

דוגמה: שוות זו לזו

שני הסוגים נוצרים כששני ישרים נחתכים, אבל הקשר ביניהן שונה!

שאלה לחשיבה

שני ישרים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $∠1 = 5 2^{\circ}$ . מצאו את שלוש הזוויות האחרות.

$∠3 = 5 2^{\circ}$ כי היא קודקודית ל- $∠1$ .
$∠2 = 18 0^{\circ} - 5 2^{\circ} = 12 8^{\circ}$ כי היא צמודה ל- $∠1$ .
$∠4 = 12 8^{\circ}$ כי היא קודקודית ל- $∠2$ .

כשיודעים זווית אחת בנקודת חיתוך של שני ישרים, אפשר למצוא את כל השאר!

שאלה 1 מתוך 7

שני ישרים נחתכים. $∠1 = 7 0^{\circ}$ . מצאו את $∠2$ הצמודה ל- $∠1$ .

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של זוויות קודקודיות כבר מוכן.

פתחו תרגול

זוויות קודקודיות

ארבע זוויות, שני זוגות

הגדרה: זוויות קודקודיות

זוג ראשון

זוג שני

התכונה: קודקודיות תמיד שוות!

כלל: זוויות קודקודיות שוות

הוכחה - למה זה עובד?

הוכחה באמצעות זוויות צמודות

דוגמאות מהחיים

זוויות קודקודיות בעולם

צומת כבישים

מספריים

חוטים קשורים

סימן X

תרגילים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

ההבדל בין צמודות לקודקודיות

צמודות מול קודקודיות

זוויות צמודות

זוויות קודקודיות

שאלה לחשיבה

שני ישרים נחתכים. ∠1=70∘. מצאו את ∠2 הצמודה ל-∠1.