סכום זוויות במצולע

Q: מהו סכום הזוויות במצולע בן 10 צלעות?

(10-2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ.

Q: כל הזוויות במצולע משוכלל בן 5 צלעות שוות. מהו גודל כל זווית?

סכום הזוויות הוא (5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ. כל זווית היא 540^\circ \div 5 = 108^\circ.

מהמשולש ( $18 0^{\circ}$ ) למרובע ( $36 0^{\circ}$ ) ועד למצולע בעל n צלעות - נוסחה אחת לכולם

$math/034-pentagon$ הרחבת הכלל למצולעים

למדנו שסכום הזוויות במשולש הוא

18 0^{\circ}

. עכשיו נרחיב את הרעיון הזה לכל מצולע - מרובע, מחומש, משושה ועוד. הסוד? חלוקה למשולשים!

מרובע

360 מעלות

נוסחה כללית

(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

למצולע בעל n צלעות

הרעיון

חלוקה למשולשים

סכום זוויות במרובע

$math/026-reason$ למה $36 0^{\circ}$ במרובע?

אפשר לחלק כל מרובע לשני משולשים באמצעות אלכסון אחד.

אם נשרטט אלכסון במרובע, נחלק אותו לשני משולשים.

כל משולש - סכום זוויותיו $18 0^{\circ}$ .

שני משולשים: $2 \cdot 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$

סכום הזוויות בכל מרובע הוא $36 0^{\circ}$ .

כלל: סכום ארבע הזוויות הפנימיות של כל מרובע הוא 360 מעלות.

$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 36 0^{\circ}$

$math/031-summation$ הנוסחה הכללית

נוסחת סכום זוויות במצולע

סכום הזוויות הפנימיות של מצולע בעל n צלעות:

$S = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$

כאשר n הוא מספר הצלעות (וגם מספר הקודקודים).

הנוסחה הכללית

S = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

למה $(n - 2)$ ? כי כל מצולע בעל n צלעות ניתן לחלק ל- $(n - 2)$ משולשים באמצעות אלכסונים מקודקוד אחד.

תמונה הממחישה את נוסחת סכום הזוויות במצולע בעזרת חלוקה למשולשים — כאשר מחלקים מצולע מקודקוד אחד, מתקבלים n-2 משולשים, וכל אחד מוסיף 180 מעלות לסכום.

טבלת סכום זוויות

סכום זוויות לפי מספר צלעות

מצולע	צלעות (n)	משולשים (n-2)	סכום זוויות
משולש	3	1	$18 0^{\circ}$
מרובע	4	2	$36 0^{\circ}$
מחומש	5	3	$54 0^{\circ}$
משושה	6	4	$72 0^{\circ}$
מצולע בן 7	7	5	$90 0^{\circ}$
מצולע בן 8	8	6	$1, 08 0^{\circ}$

* כל הוספת צלע מוסיפה $18 0^{\circ}$ לסכום הזוויות.

תרגילים

תרגיל 1: מרובע

מרובע ABCD: $∠ A = 7 0^{\circ}, ∠ B = 9 0^{\circ}, ∠ C = 11 0^{\circ}$ .
$∠ D = ?$

$7 0^{\circ} + 9 0^{\circ} + 11 0^{\circ} + ∠ D = 36 0^{\circ}$
$∠ D = 36 0^{\circ} - 27 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$

$math/034-pentagon$

תרגיל 2: מחומש

מחומש עם 4 זוויות: $10 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 11 0^{\circ}, 10 5^{\circ}$ .
הזווית החמישית = ?

סכום: $(5 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 54 0^{\circ}$
$54 0^{\circ} - 43 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$