מספרים נגדיים

זוגות מספרים מיוחדים שסכומם תמיד אפס

הזוגות המושלמים

לכל מספר חיובי יש "תאום" שלילי, וביחד הם עושים משהו מדהים - הם מבטלים זה את זה ונותנים אפס! הזוגות האלה נקראים מספרים נגדיים.

במודול הזה נלמד מה הם מספרים נגדיים, איך למצוא את הנגדי של כל מספר, ולמה התכונה הזו כל כך שימושית.

מה זה נגדי?

הגדרה ותכונות

על הציר

איפה נמצאים מספרים נגדיים

שלילי של שלילי

מה קורה כשהופכים פעמיים?

מה זה מספר נגדי?

הגדרה: שני מספרים נקראים נגדיים (או הפוכים) אם מתקיימים שלושה תנאים:

הם בעלי אותו גודל (ערך מוחלט שווה)
אחד חיובי והשני שלילי
הסכום שלהם שווה ל- $0$

דוגמאות לזוגות נגדיים

$5$ ו- $(- 5)$

$5 + (- 5) = 0$
אותו גודל (5), סימנים הפוכים

$12$ ו- $(- 12)$

$12 + (- 12) = 0$
אותו גודל (12), סימנים הפוכים

$0$ ו- $0$

$0 + 0 = 0$
אפס הוא נגדי של עצמו!

ביטוי מתמטי

אם $a$ הוא מספר כלשהו, אז המספר הנגדי שלו הוא $- a$ .

מציאת המספר הנגדי

המספר ( $a)$	הנגדי שלו ( $- a)$	בדיקה: $a + (- a)$
$7$	$- 7$	$7 + (- 7) = 0$
$- 7$	$7$	$- 7 + 7 = 0$
$100$	$- 100$	$100 + (- 100) = 0$
$- 3.5$	$3.5$	$- 3.5 + 3.5 = 0$
$0$	$0$	$0 + 0 = 0$

* שימו לב: הנגדי של מספר שלילי הוא חיובי! $- (- 7) = 7$

שלילי של שלילי = חיובי!

זהו אחד הכללים החשובים ביותר בעבודה עם מספרים שליליים. אם ניקח מספר שלילי ונחפש את הנגדי שלו, נקבל מספר חיובי.

הכלל החשוב

$- (- a) = a$

שלילי של שלילי הוא חיובי!

דוגמה: $- (- 7) = 7$
דוגמה: $- (- 15) = 15$
דוגמה: $- (- (3)) = 3$

אפשר לחשוב על זה ככה: אם "הפוך" פירושו לשנות כיוון, אז לשנות כיוון פעמיים מחזיר אותנו לכיוון המקורי. כמו לעשות פניית פרסה ואז עוד פניית פרסה - חוזרים לאותו כיוון.

מספרים נגדיים על ציר המספרים

על ציר המספרים, מספרים נגדיים נמצאים באותו מרחק מאפס, אבל בכיוונים הפוכים:

מספרים נגדיים על הציר

תארו לעצמכם את אפס במרכז הציר. $5$ נמצא 5 יחידות מימין לאפס, ו- $(- 5)$ נמצא 5 יחידות משמאל לאפס - בדיוק באותו מרחק, אבל בצד הנגדי.

באופן כללי, אם נמתח מאפס קו ימינה באורך מסוים, הקצה שלו הוא מספר חיובי. אם נמתח קו שמאלה מאפס באותו אורך בדיוק, הקצה שלו הוא הנגדי - מספר שלילי.

שימו לב: $5$ ו- $(- 5)$ נמצאים שניהם במרחק 5 יחידות מאפס, אבל בכיוונים הפוכים. הם כמו שני מראות של אותו מרחק.

נסו בעצמכם - מי הנגדי של מי?

הזיזו את המספר הראשי ובדקו איך הנקודה הנגדית נשארת באותו מרחק מאפס, אבל בצד השני בדיוק.

טוען סימולציה...

תרגול מספרים נגדיים

מציאת נגדי

מצאו את הנגדי של $- 9$ .
פתרון: הנגדי של $- 9$ הוא $9$ .
בדיקה: $(- 9) + 9 = 0$

רווח מול הפסד

חברה הרוויחה 150,000 שקלים. כמה צריכה להפסיד כדי שהסכום יהיה אפס?
פתרון: צריכה להפסיד $- 150, 000$ (הנגדי של $+ 150, 000) .$

חזרה לנקודת ההתחלה

ישראל הלך 12 צעדים ימינה. כמה צעדים שמאלה צריך כדי לחזור?
פתרון: 12 צעדים שמאלה: $12 + (- 12) = 0$

שלילי של שלילי

אם $a = - 7$ , מה הוא $- a$ ?
פתרון: $- a = - (- 7) = 7$
שלילי של שלילי הוא חיובי!

שאלה לחשיבה

האם יש מספר שהוא נגדי של עצמו?

כן! אפס הוא המספר היחיד שנגדי של עצמו. $- 0 = 0$ , ו- $0 + 0 = 0$ . כל מספר אחר שונה מהנגדי שלו (למשל, $5$ שונה מ- $(- 5)) .$

זוהי תכונה ייחודית של אפס.

אנלוגיה מהחיים

מספרים נגדיים הם כמו "ביטוח" מתמטי. אם הרווחת 100 שקלים ( $+ 100$ ) והפסדת 100 שקלים ( $- 100$ ), חזרת בדיוק לנקודת ההתחלה. הרווח וההפסד "ביטלו" זה את זה.

הפקדה של 500 שקלים ( $+ 500$ ) + משיכה של 500 שקלים ( $- 500) = 0$
עלייה של 10 מעלות ( $+ 10$ ) + ירידה של 10 מעלות ( $- 10) = 0$
12 צעדים ימינה ( $+ 12$ ) + 12 צעדים שמאלה ( $- 12) = 0$

התכונה של מספרים נגדיים היא בסיס חשוב באלגברה. כשנלמד לפתור משוואות, נשתמש ברעיון הזה כל הזמן: כדי "לבטל" מספר מצד אחד של המשוואה, נוסיף את הנגדי שלו.

למשל, אם $x + 5 = 12$ , נוסיף $(- 5)$ לשני האגפים: $x + 5 + (- 5) = 12 + (- 5)$ , ונקבל $x = 7$ . הנגדי "ביטל" את ה- $5$ בצד שמאל!

שאלה 1 מתוך 5

מה המשמעות של "מספר נגדי"?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מספרים נגדיים כבר מוכן.

פתחו תרגול

מספרים נגדיים

הזוגות המושלמים

מה זה מספר נגדי?

דוגמאות לזוגות נגדיים

5 ו-(−5)

12 ו-(−12)

0 ו-0

ביטוי מתמטי

מציאת המספר הנגדי

שלילי של שלילי = חיובי!

הכלל החשוב

מספרים נגדיים על ציר המספרים

מספרים נגדיים על הציר

נסו בעצמכם - מי הנגדי של מי?

תרגול מספרים נגדיים

מציאת נגדי

רווח מול הפסד

חזרה לנקודת ההתחלה

שלילי של שלילי

שאלה לחשיבה

אנלוגיה מהחיים

מספרים נגדיים באלגברה

מה המשמעות של "מספר נגדי"?

מספרים נגדיים

מעבר לדף התרגול של המודול

$5$ ו- $(- 5)$

$12$ ו- $(- 12)$

$0$ ו- $0$