גובה במשולש

גם כשהגובה מפתיע ונמצא מחוץ למשולש

למה הגובה כל כך חשוב?

כבר למדנו שכדי לחשב שטח משולש, צריך בסיס וגובה. אבל מה בדיוק הגובה? האם הוא תמיד בתוך המשולש? איך מזהים אותו?

במודול הזה נלמד לזהות ולשרטט גבהים בכל סוגי המשולשים, כולל המקרים המפתיעים שבהם הגובה נופל מחוץ למשולש.

הגדרה מדויקת

מהו גובה במשולש ואיך מזהים אותו

שלושה גבהים

לכל משולש יש שלושה גבהים

בתוך או בחוץ?

זה תלוי בסוג המשולש

מהו גובה במשולש?

הגדרה: גובה במשולש הוא קטע ניצב היורד מקודקוד אל הצלע הנגדית (או אל הישר המכיל אותה). הגובה חייב ליצור זווית של 90 מעלות עם הבסיס.

שימו לב: הגובה הוא לא צלע של המשולש (חוץ ממשולש ישר-זווית). הוא קו שאנחנו בונים בתוך המשולש או מחוצה לו.

לכל משולש שלושה גבהים

למשולש יש 3 קודקודים ו-3 צלעות. מכל קודקוד אפשר להוריד גובה לצלע הנגדית. לכן לכל משולש יש 3 גבהים.

שלושת הגבהים

גובה לצלע a

מקודקוד $A$ לצלע $a$ (הצלע הנגדית). בסיס = $a$ , גובה = $h_{a}$ .

גובה לצלע b

מקודקוד $B$ לצלע $b$ . בסיס = $b$ , גובה = $h_{b}$ .

גובה לצלע c

מקודקוד $C$ לצלע $c$ . בסיס = $c$ , גובה = $h_{c}$ .

שלושת הגבהים נפגשים תמיד בנקודה אחת הנקראת "אורתוסנטר". זו תכונה מיוחדת של כל משולש.

איפה נמצא הגובה? תלוי בסוג המשולש!

משולש חד-זוויות

כל 3 הגבהים נופלים בתוך המשולש.

זה המקרה הפשוט ביותר - הגובה תמיד נמצא בתוך הצורה.

משולש ישר-זווית

שני מהגבהים הם הניצבים עצמם!

הגובה השלישי (ליתר) נמצא בתוך המשולש.

משולש קהה-זווית

שני מהגבהים נופלים מחוץ למשולש!

רק גובה אחד נמצא בתוך המשולש.

גובה מחוץ למשולש

במשולש קהה-זוויות, כשבוחרים את אחת הצלעות הקצרות כבסיס, הגובה נופל מחוץ למשולש. זה אומר שצריך להאריך את הבסיס (בקו מקווקו) עד שהגובה "יפגוש" את הישר.

חשוב לזכור

גם כשהגובה נופל מחוץ למשולש, הנוסחה עדיין עובדת! $שטח = \frac{בסיס \times גובה}{2}$ .

בוחרים צלע כבסיס
מורידים ניצב מהקודקוד הנגדי לישר המכיל את הבסיס
מודדים את אורך הניצב - זה הגובה
מכפילים בסיס בגובה ומחלקים ב-2

מציאת גובה חסר

אם ידוע השטח והבסיס, אפשר למצוא את הגובה:

נוסחה למציאת גובה: $h = \frac{2 \times שטח}{בסיס}$

דוגמאות

מציאת גובה

שטח = 30 סמ"ר, בסיס = 12 ס"מ
$h = \frac{2 \times 30}{12} = \frac{60}{12} =$ 5 ס"מ

משולש שווה-שוקיים

שוקיים = 5 ס"מ, גובה = 4 ס"מ
חצי בסיס = $5^{2} - 4^{2} = 9 = 3$
בסיס = 6 ס"מ
שטח = $\frac{6 \times 4}{2} =$ 12 סמ"ר

קרקע משולשית

צלעות: 30, 40, 50 מ' (שלשה פיתגוראית!)
הניצבים הם 30 ו-40
שטח = $\frac{30 \times 40}{2} =$ 600 מ"ר

חישוב הפוך

שטח = 20 סמ"ר, בסיס = 8 ס"מ
$h = \frac{2 \times 20}{8} =$ 5 ס"מ

שאלה לחשיבה

משולש עם בסיס 8 ס"מ ושטח 20 סמ"ר. מהו הגובה?

$h = \frac{2 \times 20}{8} = \frac{40}{8} = 5$ ס"מ.

הנוסחה $h = \frac{2 \times שטח}{בסיס}$ היא פשוט שינוי סדר של הנוסחה $שטח = \frac{b \times h}{2}$ .

שרטטו שלושה משולשים שונים:
1. חד-זוויות - שרטטו את 3 הגבהים. כולם בפנים.
2. ישר-זווית - מצאו את 3 הגבהים. שניים מהם הם הניצבים!
3. קהה-זווית - שרטטו את 3 הגבהים. חלקם בחוץ!

בכל משולש, בדקו: האם 3 הגבהים נפגשים בנקודה אחת? הם אמורים! (זה האורתוסנטר.)

מחפשים את הגובה

בחרו בסיס, החליפו בין משולשים שונים, ובדקו מתי הגובה נשאר בתוך המשולש ומתי הוא יוצא החוצה. נסו במיוחד משולש קהה וראו למה לפעמים צריך להאריך את הבסיס.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 8

במשולש קהה-זווית, שני גבהים נופלים מחוץ למשולש. מה צריך לעשות כדי לסמן אותם?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של גובה במשולש - זיהוי ודמיון כבר מוכן.

פתחו תרגול